小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)

page1of7模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则:():()ABCADESSABACADAE△△EDCBAEDCBA图⑴图⑵【例1】如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB，:4:7AEAC，16ADES△平方厘米，求ABC△的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE，::2:5(24):(54)ADEABESSADAB△△，::4:7(45):(75)ABEABCSSAEAC△△，所以:(24):(75)ADEABCSS△△，设8ADES△份，则35ABCS△份，16ADES△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC△的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型page2of7么三角形ABC的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】连接BE．∵3ECAE∴3ABCABESS又∵5ABAD∴515ADEABEABCSSS，∴1515ABCADESS．【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBAABCDE甲乙【解析】连接AD．∵3BE，6AE∴3ABBE，3ABDBDESS又∵4BDDC，∴2ABCABDSS，∴6ABCBDESS，5SS乙甲．【例2】如图在ABC△中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2ABAD，:3:2AEEC，12ADES△平方厘米，求ABC△的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE，::2:5(23):(53)ADEABESSADAB△△::3:(32)(35):(32)5ABEABCSSAEAC△△，所以:(32):5(32)6:25ADEABCSS△△，设6ADES△份，则25ABCS△份，12ADES△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC△的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，2AFCF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？EFDCBA【解析】连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2page3of7倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的326（）倍．因此，平行四边形的面积为8648(平方厘米)．【例4】已知DEF△的面积为7平方厘米，,2,3BECEADBDCFAF，求ABC△的面积．FEDCBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDEABCSSBDBEBABC△△，:():()(13):(24)3:8CEFABCSSCECFCBCA△△:():()(21):(34)1:6ADFABCSSADAFABAC△△设24ABCS△份，则4BDES△份，4ADFS△份，9CEFS△份，244497DEFS△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS△平方厘米【例5】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中:2:5ABBE，:3:2BCCD，三角形BDE的面积是多少？ABECDDCEBA【解析】由于180ABCDBE，所以可以用共角定理，设2AB份，3BC份，则5BE份，325BD份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABCBDESSABBCBEBD△△，设6ABCS△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5平方厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，13AEAC，13CFBC．三角形DEF的面积为_______平方厘米．FEDCBA【解析】由题意知13AEAC、13CFBC，可得23CEAC．根据”共角定理”可得，:():()12:(33)2:9CEFABCSSCFCECBAC△△；而66218ABCS△；所以4CEFS△；同理得，:2:3CDEACDSS△△;，183212CDES△，6CDFS△故412610DEFCEFDECDFCSSSS△△△△(平方厘米)．【例7】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使2CEBC；延长CA至F，使3AFAC，求三角形DEF的面积．page4of7FEDCBAABCDEF【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS，1ABCS，∴S1DBC．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18．(法2)用共角定理∵在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，∴111428ABCFCESACBCSFCCE．又1ABCS，所以8FCES．同理可得6ADFS，3BDES．所以186318DEFABCFCEADFBDESSSSS．【例8】如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HGABCDEFHGABCDEF【解析】连接AC、BD．根据共角定理∵在ABC△和BFE△中，ABC与FBE互补，∴111133ABCFBESABBCSBEBF△△．又1ABCS△，所以3FBES△．同理可得8GCFS△，15DHGS△，8AEHS△．所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS△△△△．所以213618ABCDEFGHSS．【例9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积．HGFEDCBAABCDEFGHpage5of7【解析】连接BD．由共角定理得:():()1:2BCDCGFSSCDCBCGCF△△，即2CGFCDBSS△△同理:1:2ABDAHESS△△，即2AHEABDSS△△所以2()2AHECGFCBDADBABCDSSSSS△△△△四边形连接AC，同理可以得到2DHGBEFABCDSSS△△四边形5AHECGFHDGBEFEFGHABCDABCDSSSSSSS△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCDS四边形平方米【例10】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是．ABCDEFGHABCDEFGH【解析】连接AC、BD．由于2BEAB，2BFBC，于是4BEFABCSS，同理4HDGADCSS．于是444BEFHDGABCADCABCDSSSSS．再由于3AEAB，3AHAD，于是9AEHABDSS，同理9CFGCBDSS．于是999AEHCFGABDCBDABCDSSSSS．那么491260EFGHBEFHDGAEHCFGABCDABCDABCDABCDABCDSSSSSSSSSS．【例11】如图，在ABC△中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使12CEBC，F是AC的中点，若ABC△的面积是2，则DEF△的面积是多少？ABCDEF【解析】∵在ABC△和CFE△中，ACB与FCE互补，∴224111ABCFCESACBCSFCCE△△．又2ABCS，所以0.5FCES．同理可得2ADFS△，3BDES△．所以20.5323.5DEFABCCEFDEBADFSSSSS△△△△△【例12】如图，1ABCS△，5BCBD，4ACEC，DGGSSE，AFFG．求FGSS．SGFEDCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有page6of7一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGSS△的面积为4321115432210FGSS△．【例13】如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？ABCDEFGABCDEFG【解析】连接AF、EG．因为218164BCFCDESS△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEFS，8EFGS，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS，32ABFES，24ABFS，所以12ABGS平方厘米．【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．HGFEDCBA【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496．由于4FAa，3FBa，所以AFB与三角形DEF的面积之比为43127749．同理可知BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC的面积占三角形DEF面积的1213134949，所以ABC的面积的面积为4913136496．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正page7of7六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363，所以五边形的面积是12103633．