2017专题4：圆与相似(含答案)

专题：圆与相似(1)1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H．点G在⊙O上，过点G作直线EF，交CD延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接AG交CD于K，且KE＝GE．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC∥EF，AH3AC5，FB＝1，求⊙O的半径．2．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．3．如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．连接OC交AE于点H。（1）求证：GC⊥OC．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．4．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．5．如图，⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM：MD=3：2，E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F．求：（1）⊙O的半径；（2）求CE·CF的值．6．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．（1）当BD=3时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．EABCODMF9.如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．（1）求证：PM=PN；（2）若BD=4，PA=AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．10.如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE．（1）求证：DE∥CF；（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离．11.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．12.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD•2OE；（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．专题：圆与相似答案1．（1）相切，理由见解析；（2）4.（1）如图，连接OG．∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG.∵CD⊥AB，∴∠AKH＋∠OAG＝90°．∵KE＝GE，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH.∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°.∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF.又∵G在圆O上，∴EF与圆O相切．（2）∵AC∥EF，∴∠F＝∠CAH，∴Rt△AHC∽Rt△FGO．∴CHOGACOF.∵在Rt△OAH中，AH3AC5，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t．∴CH4AC5.∴OG4OF5.∵FB＝1∴OG4OG15，解得：OG＝4．∴圆O的半径为4.考点：1.等腰三角形的性质；2.切线的判定；3.相似三角形的判定与性质．2．（1）证明见解析；（2）EF2=4OD•OP，证明见解析；（3）35，103.【解析】试题解析：（1）如图，连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°.∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）.∴∠PAO=∠PBO=90°.∴直线PA为⊙O的切线.（2）EF2=4OD•OP，证明如下：∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°.∴∠OAD=∠OPA.∴△OAD∽△OPA.∴OAODOPOA，即OA2=OD•OP.又∵EF=2OA，∴EF2=4OD•OP.（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=12BC=3（三角形中位线定理）.设AD=x，∵tan∠F=AD1FD2，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.∴AD=4，OA=2x﹣3=5.∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°.又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=BC63AC105.∵OA2=OD•OP，∴3（PE+5）=25.∴PE=103.3.试题解析：（1）证明：如图，连结OC，∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE，∵CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG是⊙O的切线；（2）证明：连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠BCD=90°，而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠2，∵AC弧=CE弧，∴∠1=∠B，∴∠1=∠2，∴AF=CF；（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，∴DF=21AF=1，∴AD=3DF=3，∵AF∥CG，∴DA：AG=DF：CF，即3：AG=1：2，∴AG=32．4.（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=12∠CAB．∵∠CBF=12∠CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°，即∠ABF=90°，∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=55，∠1=∠CBF，∴sin∠1=55，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=5，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=25，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=22ABBE=25，∴sin∠2=AEAB=255，cos∠2=BEAB=55，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴GCAG=BFAB，∴BF=GCAB20AG3．考点：1．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．相似三角形的判定与性质；5．试题解析：（1）如图，连接AO，∵OM:MD=3:2，∴可设OM=3k，MD=2k(k0)，则OA=OD=5k.又∵弦AB=8，直径CD⊥AB于M，∴AM=4.在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1．∴圆O的半径为5．（2）如图，连接AE，由垂径定理可知：AEC=CAF，又∵ACF=ACF，∴ACE∽FCA.∴ACCECFAC，即AC2=CECF.在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC2=AM2+CM2=16+64=80，∴CECF=80.6．解：（1）证明：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°。∴∠CAD+∠ADC=90°。又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，∴∠PAC=∠ADC。∴∠CAD+∠PAC=90°。∴PA⊥OA。又∵AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线。（2）由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。∴ACAGABAC，即AC2=AG•AB。AC2=12。∴AC=23。∵AG•AB=12，∴（3）设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，即3x2=12。解得；x=2。∴AF=2，AD=6。∴⊙O半径为3。在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，∴根据勾股定理得：2222AGAFGF215。由（2）知，AG•AB=12，∴12125ABAG5。连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°。在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=ABAD，AD=6，125AB5∴sin∠ADB=255。∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=255。7.（1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵DB为直径，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴，∴△DBE∽△ABC，即，∴DE=；（2）证法一：连接OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠DEO+∠DEF=90°，∴∠AEF=∠DEO，∵△DBE∽△ABC，∴∠A=∠EDB，又∵∠EDO=∠DEO，∴∠AEF=∠A，∴△FAE是等腰三角形；证法二：连接OE∵EF为切线，∴∠AEF+∠OEB=90°，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，∴∠AEF=∠A，∴△FAE是等腰三角形．8.证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）如图，连结DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE与△HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在Rt△HFE中，EF==，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，∴=，即=，∴BF=10，∴OE=BF=5，OH=5-1=4，∴Rt△OHE中，cos∠EOA=，∴Rt△EOA中，cos∠EOA==，∴=，∴OA=，∴AF=-5=．9.（1）证明：连接OM，∵MP是圆的切线，∴OM⊥PM，∴∠OMD+∠DMP=90°，∵OA⊥OB，∴∠OND+∠ODM=90°，∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，∴∠DMP=∠MNP，∴PM=PN．（2）解：设BC交OM于E，∵BD=4，OA=OB=BD=2，∴PA=3，∴PO=5；∵BC∥MP，OM⊥MP，∴OM⊥BC，∴BE=BC；∵∠BOM+∠MOP=90°，在直角三角形OMP中，∠MPO+∠MOP=90°，∴∠BOM=∠MPO；∵∠BEO=∠OMP=90°，∴△OMP∽△BEO，∴，即=，解得：BE=，∴BC=．10.（1）证明：连接OF，∵AB切半圆O于点F，OF是半径，∴∠OFB=90°，∵∠ABC=90°，∴∠OFB=∠ABC，∴OF∥BC，∵BC=OE，OE=OF，∴BC=OF，∴四边形OBC