有理数乘方概念

有理数乘方22、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2与7叫做底数（base）,2与3叫做指数（exponent）。这种求n个相同因数a的积运算叫做乘方（power），乘方的结果叫做幂（power），a叫做底数（basenumber），n叫指数（exponent）。任何数的0次方都是1，例：3º=1（注：0º无意义）有理数乘方同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。推导：设a^m*a^n中，m=2，n=4，那么a^2*a^4=（a*a）*(a*a*a*a)=a*a*a*a*a*a=a^6=a^(2+4)所以代入：a^m*a^n=a^(m+n)用字母表示为：a^m·a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m－n)（m、n均为自然数）1）15^2×15^3；2）3^2×3^4×3^8；3）5×5^2×5^3×5^4×…×5^901）15^2×15^3=15^(2+3)=15^52）3^2×3^4×3^8=3^(2+4+8)=3^143）5×5^2×5^3×5^4×…×5^90=5^(1+2+3+…+90)=5^4095[1]有理数乘方正整数指数幂法则a^k=a*a*....*a（k个a），其中k∈N*（即k为正整数）有理数乘方指数为0幂法则a^0=1，其中a≠0，k∈N*推导：a^0=a^(1-1)=(a^1)/(a^1)=a/a=1有理数乘方负整数指数幂法则a^(-k)=1/(a^k)，其中a≠0,k∈N*推导：a^(-k)=a^(0-k)=(a^0)/(a^k)=1/(a^k)[2]有理数乘方正分数指数幂法则a^(m/n)=，其中n≠0，m/n0，m,n∈N*（即m,n为正整数）有理数乘方负分数指数幂法则a^[-(m/n)]=，其中，a^m≠0（≠0，a≠0），m/n0，n≠0，m,n∈N*推导：a^[-(m/n)]=a^(0-m/n)=(a^0)/[a^(m/n)]=1/[a^(m/n)]=1/=分数指数幂时，当n=2k,k∈N*，且a^m0时，则该数在实数范围内无意义特别地，0的非正数指数幂没有意义有理数乘方平方差两数和乘两数差等于它们的平方差。用字母表示为：（a+b）（a-b)=a^2-b^2推导：(a+b)(a-b)=(a+b)a-(a+b)b=(a^2+ab)-(b^2+ab)=a^2-b^2[3]有理数乘方幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为：（a^m）^n=a^(m×n)幂的乘方特别指出：a^m^n=a^(m^n)有理数乘方积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为：（a×b）^n=a^n×b^n这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如：（a×b×c）^n=a^n×b^n×c^n有理数乘方同指数幂乘法同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。用字母表示为：（a^n）*（b^n）=（ab）^n有理数乘方完全平方两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（或者减去）它们的积的2倍。用字母表示为：（a+b）^2=a^2+2ab+b^2或（a－b）^2=a^2－2ab+b^2我们一般把前者叫作完全平方公式，把后者叫作完全平方差公式。有理数乘方立方和a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)有理数乘方立方差a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[4]有理数乘方多项式平方(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac有理数乘方二项式艾萨克·牛顿发现了二项式。二项式是乘方里的复杂运算。右图为二项式计算法则。一般来说，二项式也可以这样表示：11112113311464115101051………………这就是著名的杨辉三角。有理数乘方速算有些较特殊的数的平方，掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。由n个1组成的数的平方我们观察下面的例子。1^2=111^2=121111^2=123211111^2=123432111111^2=123454321111111^2=12345654321……由以上例子可以看出这样一个规律；求由n个1组成的数的平方，先由1写到n，再由n写到1，即：11…1（n个1）^2=1234…(n-1)n(n-1)…4321注意：其中n只占一个数位，满10应向前进位，当然，这样的速算不宜位数过多。由n个3组成的数的平方我们仍观察具体实例：3^2=933^2=1089333^2=1108893333^2=1110888933333^2=1111088889由此可知：33…3（n个3）^2=11…11【(n-1)个1】088…88【(n-1)个8】9个位是5的数的平方把a看作10的个数，这样个位数字是5的数的平方可以写成；（10a+5）^2的形式。根据完全平方式推导；（10a+5）^2=（10a）^2+2×10a×5+5^2=100a^2+100a+25=100a×（a+1）+25=a×（a+1）×100+25由此可知：个位数字是5的数的平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大1的数相乘的积，后面再写上25。有理数乘方图示(2^5=2*2*2*2*2)[1]一、目标预设1、知识与技能（1）在现实背景中，理解有理数乘方的意义，叙述有理数乘方的概念；（2）能进行有理数的乘方运算。2、过程与方法[2]变“幂”为“乘”是由转化的思想把新问题（有理数乘方）转化为旧知识（有理数的乘法）来解决。经历有理数乘方的概念的推导过程，体验乘方概念与有理数乘法的联系；3、情感、态度与价值观通过观察、类比、归纳得出正确的结论。发展综合运用所学知识的能力。二、教学重难点1、重点：在理解有理数乘方意义的基础上进行有理数的乘方运算。2、难点：与所学知识进行衔接，处理带各种符号的乘方运算。三、教学准备1、教具：多媒体2、预习建议：（1）乘方的定义。（2）乘方的初步运算。四、教学方法：引导探索法，尝试指导，充分体现学生的主体地位五、教学设计思路：教师给学生创设问题情境，鼓励学生积极参与，注重学生在认知过程中的思维，通过学生讨论、归纳得出的知识，比教师的单独讲解要记得牢，同时也培养学生归纳、总结的能力。然后通过一些练习来巩固这些知识。1、创设情境，引出课题①听音频资料，通过《棋盘上的学问》一则故事，引入问题：64个二相乘怎么计算？吸引学生注意，为下文引入乘方的概念铺垫。师：到底国王傻不傻呢？大家先别急着下结论，等大家学完了本节课程，就能回答这个问题了。②请大家看细胞分裂示意图，由计算并用算式表示出第一次，第二次，第三次，第n次分裂后细胞的个数，引入乘方的概念。师：有些时候，我们会遇到几个相同因数相乘的式子，比如五个2相乘，我们要写很长，这样的式子有更简单的表示方式吗？2、自主学习，讲解定义（1）请大家阅读课本关于《有理数的乘方》这节课程的内容。（五分钟）（2）请大家在阅读的同时，思考屏幕上的三个问题：（板书课题：有理数的乘方）①什么叫乘方？求个相同因数的积的运算叫乘方②用字母怎么表示？读作什么？③每个字母表示什么？分别请学生回答相关的问题，培养学生自主学习的能力。注：①乘方是一种和加减乘除一样的一种运算；②指数n要以小写的形式写于底数的右上角；③了解乘方的意义，从幂转为乘。（3）了解乘方的指数，底数，幂的定义乘方的结果叫做幂；在中，叫做底数，叫做指数。明确了表示a的幂的这个式子的结构之后，做几道口答题。看屏幕，用基础题来调动学生参与讨论回答的积极性，为后续学习热身。有理数乘方性质正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何正整数次幂都得0.有理数乘方例题某种细胞每过30分便由一个分裂成2个。经过5h，这种细胞由一个能分裂成多少个？解答：1个细胞30min后分裂成2个，1h后分裂成2×2个，1.5h后分裂成2×2×2个……5h后要分裂10次，分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024（个）为了简便，可将2×2×2×2×2×2×2×2×2×2记为2¹º。