牛顿拉夫逊算法

第十一章电力系统潮流计算3.5牛顿拉夫逊算法牛顿拉夫逊法牛顿－拉夫逊法潮流计算迭代法潮流计算潮流计算的其它问题小结第十一章电力系统潮流计算３.5牛顿一拉夫逊法的潮流计算核心：将非线性方程的求解转换成相应线性修正方程多次迭代求解第十一章电力系统潮流计算一、牛顿一拉夫逊法的基本原理1.几何认识2.设初始点3.多维非线性方程组的迭代公式,()0ooxfx第十一章电力系统潮流计算1、几何认识讨论收敛区域和收敛条件。又称切线法。)(kx)(ky)(xfyxyo)1(kx)(kx下一步迭代第k+1步迭代)2(kx第十一章电力系统潮流计算2、设初始点,()0ooxfx00002221()01()02()0()ooxxoxoxofxxdfdffxxxdxdxdffxxdxfxxdfdxxxx一般迭代公式：1()kkkkxfxxxdfdx迭代过程的收敛判据：()kfx第十一章电力系统潮流计算例题：21200x4()0.000003289fx210,()120,()2oxfxxfxx1()201011()20oofxxxfx1211()11110.9141414()22fxxxfx2322()0.881517510.914141410.954526()210.9141414fxxxfx3433()0.0016398810.95452610.954451()210.954526fxxxfx第十一章电力系统潮流计算3、多维非线性方程组的迭代公式以两维为例说明多维的基本思想112212(,)0(,)0fxxfxx已知，与真解的差为(0)(0)12,xx(0)(0)12,xx(0)(0)(0)(0)11122(,)0fxxxx(0)(0)(0)(0)22222(,)0fxxxx第十一章电力系统潮流计算(0)(0)(0)(0)11112121200(,)0fffxxxxxx(0)(0)(0)(0)22212121200(,)0fffxxxxxx矩阵形式：11(0)(0)1211(0)(0)222212(0)0ffxxfxfffxxx(1)(0)(0)111(1)(0)(0)222xxxxxx展开：3、多维非线性方程组的迭代公式第十一章电力系统潮流计算记：12,,,TnFfff12,,,TnXxxx则方程为：()0FX3、多维非线性方程组的迭代公式基于同样的思想，我们可以得到n维非线性方程—牛顿拉夫逊迭代公式11221212(,,)0(,,)0(,,)0nnnnfxxxfxxxfxxx第十一章电力系统潮流计算3、多维非线性方程组的迭代公式(1)()()kkkXXX()()()()kkkJXFX其中()kkFJX将展开，写成矩阵形式，则第k+1次迭代时：()0FX11112()()()()1121222()()()()212212()()()()1212(,,)(,,)(,,)nkkkkkkknkkkknnkkkkkkknnnnnnnkkkfffxxxfxxxxffffxxxxxxxfxxxxfffxxx(1)()()(1,2,,)kkkiiixxxin可以缩写为：第十一章电力系统潮流计算讨论：①雅可比矩阵元素是节点电压函数，迭代过程中每次迭代电压都要修正，因此雅可比矩阵中元素每次都改变。②雅可比矩阵不是对称阵③雅可比矩阵为稀疏矩阵第十一章电力系统潮流计算二、直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算,11,2,,1,,1PQPVnmnmmmnn11()()nniiijjijjiijjijjjjPeGeBffGfBe()PVPQi11()()nniiijjijjiijjijjjjQfGeBfeGfBe222iiiVefPViPQi第十一章电力系统潮流计算11122222()()0()()00nniisiisiijjijjiijjijjjjniisiisiijjijjiijjijjjiisiisiiPPPPeGeBffGfBeQQQQfGeBfeGfBeVVVVef3.6直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算111111mmmmmnPQPQFPYPV111111mmmmnnefefXefef111111mmmmnnefefXefef(1)()()kkkXXXXFJmax(||)iF迭代收敛条件：第十一章电力系统潮流计算二、直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算()iiijiijijjiiijiijijjQPGeBfefPQBeGffe220iijjVVef111122222()()0()()00nniisiisiijjijjiijjijjjjnniisiisiijjijjiijjijjjjiisiisiiPPPPeGeBffGfBeQQQQfGeBfeGfBeVVVVef计算时雅可比矩阵各元素ij第十一章电力系统潮流计算二、直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算iiPe计算i=j时雅可比矩阵各元素iiQfiiQeiiPf2222iiiiiiVeeVff1()nijjijjiiiiiijGeBfBfGe1()nijjijjiiiiiijGfBeGfBe1()nijjijjiiiiiijGfBeBeGf1()nijjijjiiiiiijGeBfGeBf111122222()()0()()00nniisiisiijjijjiijjijjjjnniisiisiijjijjiijjijjjjiisiisiiPPPPeGeBffGfBeQQQQfGeBfeGfBeVVVVef11(2)()()niiiiiiijjijjiiijjinijjijjiiiiiijGeBfGeBfBfGeBfGeBf11(2)()()niiiiiiijjijjiiijjinijjijjiiiiiijGfBeGfBeBeGfBeBeGf112()()niiiiiiijjijjiiijjinijjijjiiiiiijGfBeGfBeGfGfBeGfBe11()(2)()nijjijjiiiiiijniiiiiiijjijjiiijjiGeBfBfGeGeBfGeBfGe第十一章电力系统潮流计算讨论：①J为非奇异方阵。②与Y相同的稀疏性∵表示③结构对称性，分块不对称。④修正方程求解：高斯消去法。逐行消元逐行规格化（代）。回代提及复习线性代数的相关内容。⑤节点优化编号：静态按最少出路数排序，动态按最少出路数排序。⑥收敛性：平直电压启动时，迭代次数与实际规模无关，线性迭代时间仅与节点数N成正比。⑦引入修正系数。⑧初值、平值电压启动。1m第十一章电力系统潮流计算思考题1：已知11.00V（所有参数已以归算到同一标幺值下）221.00.3PjQj12120.050.1RjXj求潮流分布。要求：严格遵守步骤、审题方程求解，不要直接套用书上公式。1V2V22jQP1212RjX第十一章电力系统潮流计算思考题2：试推导潮流计算方程和牛顿法的雅可比矩阵迭代公式，只写表达式12121/Yz已知：110VV1212RjX22NNPjQ（额定电压下）222222()()SNpppSNQQQPPabVCVQQabVCV，，第十一章电力系统潮流计算输入原始数据形成节点导纳矩阵按公式计算雅可比矩阵各元素计算平衡节点功率及全部线路功率输出给定节点电压初值(0)(0),iief0k用公式计算()()2(),kkkiiiPQV及()()2()max{|,,|}?kkkiiiPQV解修正方程式，求()(),kkiief(1)()()(1)()(),kkkkkkiiiiiieeefff1kk是否计算步骤第十一章电力系统潮流计算潮流计算完成以后的工作①线路潮流分布。②网损③安全校正LOSSLiPPminmaxminmaxminmaxminmaxiiigigigigigigiijijijVVVPPPQQQ第十一章电力系统潮流计算三、极坐标下的牛顿一拉夫逊潮流1111EPQPVnmnmmmnn1(cossin)niijijijijijjPVVGB()1PQPVin1(sincos)niijijijijijjQVVGB()PQim,1,1iPQiPVVimnmin未知量：1nm方程：第十一章电力系统潮流计算111222111111222nnnmmmPPPPFXXQVVQVQVVQVV21DPHNVVQKL三、极坐标下的牛顿一拉夫逊潮流11(cossin)0(sincos)0niisiisijijijijijjniisiisijijijijijjPPPPVVGBQQQQVVGB第十一章电力系统潮流计算三、极坐标下的牛顿一拉夫逊潮流(sincos)(cossin)(cossin)(sincos)iijijijijijijjiijjijijijijijjiijijijijijijjiijjijijijijijjPHVVGBPNVVVGBVQKVVGBQLVVVGBV11(cossin)0(sincos)0niisiisijijijijijjniisiisijijijijijjPPPPVVGBQQQQVVGB计算时雅可比矩阵各元素ij第十一章电力系统潮流计算三、极坐标下的牛顿一拉夫逊潮流计算i=j时雅可比矩阵各元素iiiiPHiiiiQKiiiiiPNVViiiiiQLVV2iiiiQVB2iiiiPVG2iiiiPVG2iiiiQVB11(cossin)0(sincos)0niisiisijijijijijjniisiisijijijijijjPPPPVVGBQQQQVVGB1212(