张禾瑞高等代数第五章课件

第五章矩阵5.1矩阵的运算5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式5.3矩阵的分块宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁，无处不用数学。——华罗庚5.1矩阵的运算一、内容分布5.1.1认识矩阵5.1.2矩阵的运算5.1.3矩阵的运算性质5.1.4方阵的多项式5.1.5矩阵的转置二、教学目的1.掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。2.掌握转置矩阵及其运算性质。3.掌握方阵的幂、方阵的多项式。三、重点、难点矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。5.1.1认识矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为F上nm矩阵,简写:)()(ijnmijaAaA或矩阵的产生有丰富的背景:线形方程组的系数矩阵…..,矩阵的应用非常广泛.设F是数域,用F的元素排成的m行n列的数表ija5.1.2矩阵的运算定义1(矩阵的数乘)给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为111211112121222212221212nnnnmmmnmmmnaaakakakaaaakakakakAkaaakakaka定义2（矩阵的加法）给定两个mn矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbbA和B加法定义为:111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab定义3（矩阵的乘法）给定一个mn矩阵和一个nl矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212llnnnlbbbbbbBbbbA和B的乘法定义为niilminiiminiiminiiliniiiniiiniiliniiiniiibababababababababaAB112111212211211121111注意:相加的两个矩阵必须同型,结果也同型;相乘的两个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数,试问:结果的形状?5.1.3矩阵的运算性质矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）(1)加法交换律ABBA(2)加法结合律)()(CBACBA(3)零矩阵AA0(4)负矩阵0)(AA(5)数乘结合律AkllAk)()((6)数乘分配律kBkABAk)(lAkAAlk)((7)乘法结合律)()(BCACAB)()()(kBABkAABk(8)乘法分配律BCABCBA)(CABAACB)(注意:矩阵的乘法不满足交换律,消去律:CBACABA,0也不满足.满足:BAAB的两个矩阵称为可交换的.例1已知052110351234,230412301321BA,求.23BA例2已知,612379154257,864297510213BA且,2BXA求.X例3若,012321,132132BA求.AB例5求与矩阵0000100001000010A可交换的一切矩阵.例6证明:如果,,BCCBACCA则有).()();()(ABCCABBACCBA5.1.4方阵的多项式单位矩阵:主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩阵,记为nI或I1100nn单位矩阵也可以记为EEn或.它有如下性质:,mnmnnAAImnmmnAIA方阵A的方幂:kAAAA......规定:IA0设多项式0111......)(axaxaxaxfnnnn那么,IaAaAaAaAfnnnn0111......)(在多项式的等式中,用A代x可以作出形式相同的矩阵等式.5.1.5矩阵的转置设111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记为'A或.TA转置有下面的性质:AA)''((9)'')'(BABA(10)'''ABAB(11)5.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式一、内容分布5．2．1可逆矩阵的定义5．2．2可逆矩阵的性质5．2．3初等矩阵的定义、性质5．2．4矩阵可逆的判别5．2．5逆矩阵的求法5．2．6矩阵乘积的行列式二、教学目的1掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别2掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。3了解初等矩阵与初等变换的关系三、重点、难点逆矩阵的求法矩阵可逆的判别5.2.1可逆矩阵的定义定义1A为F上n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.例：BA10013152215321533152A与B互为逆矩阵.注1有零行或零列的矩阵不可逆.5.2.2可逆矩阵的性质①A可逆，则A的逆矩阵唯一。证设B,C均为A的逆矩阵，则AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=BAC=（BA）C=IC=C证注意到即得.IAAAA11)(证注意到即得.IABABABAB)()(1111④A可逆，则)()(,11AAA且可逆②A可逆，则可逆，且1AAA11)(由有.IAAAA11IAAAA)()(11证③A，B可逆，则AB也可逆，且.111)(ABAB5.2.3初等矩阵的定义、性质定义2由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.n=4000101000010100014P100001000100001)(100000000100001)(243kkTkkD定理1对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A;对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如1、交换A的i，j行相当于用.ijPA左乘111213313133[1,3]21222321222313313233111213aaaaaaaaaaaaPAaaaaaa如2、把A的第i行乘以数k相当于用.()iDkA左乘3、把A的第j行乘以k后加到第i行相当于用.()ijTkA左乘即.,AAEAAE行为相应的初等矩阵定理2初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且)()()1()(111kTkTkDkDPPijijiiijij引理1，则.（初等变换不改变可逆性）.AA行可逆可逆AA定理3任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为rnrmrrmrnrrOOOIA,,,证由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为(*)00001000100011,21,211,1rnrrnrnrCCCCCC对（*）作第三种列变换即可化为A5.2.4矩阵可逆的判别n阶矩阵A可逆AIA可写成初等矩阵的乘积0||AnA秩证明：AOOoIArnrnrrnrnrr,,,①A可逆,则可逆，无零行，即.反之，若A→I，由I可逆知A可逆.AAIA②A→I，即I→A即存在初等矩阵使tssEEEE,,,,,11AEIEEEEtss112注A可逆,则A可经初等行变换化为I.③由①A→I，nIAn秩秩0AnA秩④5.2.5逆矩阵的求法①行初等变换法A可逆，由，即存在初等矩阵，使IA行sEE,,111212AIEEEIAEEEss从而即1||AIIA行例11,814312201AA求解：1161042211,1161042211)|(1AIIA即②公式法设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211*212221212111AAAAAAAAAAnnnnnn令称.*的伴随矩阵为AA则由行列式的依行依列展开公式jijiAaAaAanjinjiji0|A|2211，有nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAaAaAaAaAaAaAaAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA112221211112121111212221212111212222111211*000000即IAAAAAAAA||||000||0000||**若A可逆，则|A|≠0，从而IAAAAA)1()1(**即*11AAA例2：22122111*,1112AAAAAA1||,2,1,1,122211211AAAAA21111A故例3：求矩阵的逆矩阵.021112111A解法一利用公式.11AAA因为,04021112111A计算每个元素的代数余子式ija:ijA,10112,202111211AA,20211,521122113AA,12111,101112322AA,11211,211113231AA.3121133A所以,.3151112224114341454141412121211AAA解法二行初等变换法.101315102110400201101012001110130111100010001021112111)()3(32)1(31)1(13)1(12IA,1000100010101000011011021101002014341454141412121213,2414141434145212121)1(23)2(21434145412所以.4341454141412121211A例4解矩阵方程其中,BAX.315241,100210321BA解显然A是可逆的.先求出.1002101211A再在原方程两边左乘得,1A.11BAAXA所以.31110943152411002101211BAX注：当n3时，求的计算量较