2011高考数学总复习课件11.3 变量间的相关关系

§11.3变量间的相关关系要点梳理1.两个变量的线性相关（1）正相关在散点图中，点散布在从到的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.（2）负相关在散点图中，点散布在从到的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.左下角右上角左上角右下角基础知识自主学习（3）线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.2.回归方程（1）最小二乘法求回归直线使得样本数据的点到它的的方法叫做最小二乘法.一条直线附近距离的平方和最小（2）回归方程方程y=是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1,y1）,(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程，其中,是待定参数.axbˆˆbˆaˆabˆˆ=211)()()(niiiniixxyyxx.niiniiixnxyxnyx1221xbyˆ基础自测1.下列关系中，是相关关系的为（）①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.A.①②B.①③C.②③D.②④解析①中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性,是相关关系.②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系.③④都不具备相关关系.A2.设有一个回归方程为=3-5x,变量x增加一个单位时（）A.y平均增加3个单位B.y平均减少5个单位C.y平均增加5个单位D.y平均减少3个单位解析-5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位时，y平均减少5个单位.Byˆ3.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）,则y与x之间的回归直线方程为（）A.=x+1B.=x+2C.=2x+1D.=x-1解析将（x,y）的四组值代入公式求得、即可，也可注意到所给的四组值，发现y总比x大1，故回归直线方程为=x+1.yˆyˆyˆyˆAyˆbˆaˆ4.有关线性回归的方法，不正确的是（）A.相关关系的两个变量是非确定关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强解析散点图上的点大致分布在通过散点图中心的那条直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系越强.D5.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的回归方程是（）A.=1.23x+4B.=1.23x+5C.=1.23x+0.08D.=0.08x+1.23解析当x=4时，y=1.23×4+0.08=5.yˆyˆyˆyˆC题型一利用散点图判断两个变量的相关性【例1】山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg).（1）画出散点图；（2）判断是否具有相关关系.施化肥量x15202530354045棉花产量y330345365405445450455题型分类深度剖析思维启迪（1）用x轴表示化肥施用量，y轴表示棉花产量，逐一画点.（2）根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系.解（1）散点图如图所示（2）由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系.散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度.探究提高知能迁移1科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.年平均气温12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量748542507813574701432（1）试画出散点图；（2）判断两个变量是否具有相关关系.解（1）作出散点图如图所示，(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系.题型二求回归直线方程【例2】（12分）随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：家庭编号12345678910xi（收入）千元0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8yi（支出）千元0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？（2）若二者线性相关，求回归直线方程.思维启迪利用散点图观察收入x和支出y是否线性相关，若呈线性相关关系，可利用公式来求回归系数，然后获得回归直线方程.解（1）作出散点图：4分观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系.6分（2）(0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74,(0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5)=1.42，8分=1.42-1.74×0.8136≈0.0043，11分∴回归方程=0.8136x+0.0043.12分101x101yaˆ,6813.0ˆ10122101iiiiixnxyxnyxbyˆ101,51.27iiiyx1012,72.33iix探究提高从本题可以看出，求回归直线方程，关键在于正确求出系数,，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的回归直线方程才有意义.aˆbˆ知能迁移2下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据：x3456y2.5344.5（1）请画出表中数据的散点图；（2）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程解（1）由题设所给数据，可得散点图如图..ˆˆˆaxby（2）对照数据，计算得：=32+42+52+62=86，=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：=3.5-0.7×4.5=0.35.因此，所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.412iix41iiiyx,5.345.4435.2,5.446543yx,7.05.44865.35.445.6644ˆ2412241iiiiixxyxyxbxbyaˆˆyˆ题型三利用回归直线方程对总体进行估计【例3】某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：月份产量(千件)单位成本（元）127323723471437354696568（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？（3）假定产量为6000件时，单位成本为多少元？解（1）n=6，=71+1.82×3.5=77.37.回归方程为=77.37-1.82x.6161,71,5.3,426,21iiiiyxyx.82.15.3679715.36481166ˆ,4811,79261226161612iiiiiiiiiixxyxyxbyxxxbyaˆˆxbayˆˆˆ（2）因为单位成本平均变动=-1.82＜0,且产量x的计量单位是千件,所以根据回归系数b的意义有:产量每增加一个单位即1000件时,单位成本平均减少1.82元.(3)当产量为6000件时,即x=6,代入回归方程，得=77.37-1.82×6=66.45（元）当产量为6000件时，单位成本为66.45元.利用线性回归方程可以进行预测，线性回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制,依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用.探究提高bˆyˆ知能迁移3某产品的广告支出x（单位：万元)与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x(单位：万元)1234销售收入y(单位：万元)12284256（1）画出表中数据的散点图；（2）求出y对x的回归直线方程；（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？解（1）作出的散点图如图所示（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下表：序号xyx2xy11121122228456334291264456162241013830418故y对x的回归直线方程为（3）当x=9时，故当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元..225573269ˆˆ,573)25(43026925441844ˆ,269,252241241xbyaxxyxyxbyxiiiii所以易得.2573ˆxy.4.12929573ˆy方法与技巧1.线性相关关系的理解：相关关系与函数关系不同.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.例如正方形面积S与边长x之间的关系S=x2就是函数关系.相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.例如商品的销售额与广告费是相关关系.两个变量具有相关关系是回归分析的前提.思想方法感悟提高2.求回归方程，关键在于正确求出系数,，由于,的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误.（注意回归直线方程中一次项系数为,常数项为,这与一次函数的习惯表示不同.）3.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决:（1）确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；（2）根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；（3）求出回归直线方程.aˆbˆaˆbˆbˆaˆ失误与防范1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.2.根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值.一、选择题1.（2009·海南、宁夏，3）对变量x,y有观测数据（xi,yi）(i=1,2,…,10)，得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui,vi）(i=1,2，…,10)，得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）定时检测A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关解析图（1）中的数据随着x的增大而y减小，因此变量x与变量y负相关；图（2）中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关.答案C2.已知变量x,y呈线性相关关系，回归方程为=0.5+2x,则变量x,y是（）A.线性正相关关系B.由回归方程无法判断其正负相关C.线性负相关关系D.不存在线性相关关系解析随着变量x增大，变量y有增大的趋势，则x、y称为正相关，则A是正确的.yˆA3.下表是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是则等于(）A.10.5B.5.15C.5.2D.5.25解析=2.5，=3.5，∵回归直线方程过定点∴3.5=-0.7×2.5+.∴=5.25.D,ˆ7.0ˆaxyaˆxy),,(yxaˆaˆ4.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s、t，那么下列说法正确的是（）A.直线l1和l2一定有公共点（s,t）B.直线l1和l2相交，但交点不一定是（s，t）C.必有l1∥l2D.l1与l2必定重合解析线性回归直线方程为∴(s,t)在回归直线上