2006年湖南省高中数学竞赛试卷A

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共8页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2006年湖南省高中数学竞赛试卷A考生注意：1．本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。2．用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。3．解题书写不要超出装订线。4．不能使用计算器。一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合}2]x[x|x{A2，}2|x||x{B，则BA（）A．(－2，2)B．[－2，2]C．}1,3{D．}1,3{2．若200634554x57x53x2x2xf，则21111f=（）A．－1B．1C．2005D．20073．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是（）A．[1，2]B．[2，4]C．[1，3]D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成30角，则这样的直线条数是（）A．1B．2C．3D．45．等腰直角三角形ABC中，斜边BC=24，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上）（）A．124y246x22B．1243y246x22C．1246y24x22D．1246y243x22（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（）A．1372B．2024C．3136D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。）7．等差数列}a{n的前m项和为90，前2m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知]4,4[y,x，Ra，且0ay2sin21y40a2xsinx33，则y2xcos的值为_________.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人DABCA1B1C1D1P金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共8页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在ABC中，AB=30，AC=6，BC=15，有一个点D使得AD平分BC并且ADB是直角，比值ABCADBSS能写成nm的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=________.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关。则连过前3关的概率为_________.三、解答题（本大题共4小题，满分78分要求解答要有必要的过程）13．（本小题满分16分）是否存在最小的正整数t，使得不等式tn3tntnn1tn对任何正整数n恒成立，证明你的结论。14．（本小题满分18分）设x，y，z为正实数，求函数xyz1z2z3y4x4y3x21z,y,xf的最小值。15．（本小题满分22分）设A、B分别为椭圆1byax22220ba和双曲线1byax2222的公共的左、右顶点。P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足BQAQBPAP1,R。设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4.（1）求证：k1+k2+k3+k4=0；金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共8页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com（2）设F1、F2分别为椭圆和双曲线的右焦点。若12QF//PF，求24232221kkkk的值。16．（本小题满分22分）将m位性别相同的客人，按如下方法入住A1、A2、…、An共n个房间。首先，安排1位客人和余下的客人71的入住房间A1；然后，从余下的客人中安排2位和再次余下的客人71的入住房间A2；依此类推，第几号房间就安排几位客人和余下的客人71的入住；这样，最后一间房间An正好安排最后余下的n位客人。试求客人的数目和客房的数目，以及每间客房入住客人的数目。参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共8页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com一、选择题（本大题共6个小题。每小题6分，满分36分．）（注：选择题有些解答是不同于标准答案的简单一点的解法，供参考）1．选C解：由于x=0A，排除答案A、C，又x=－1满足题意，故选C;2．选B解：令21111t，则055t2t22，故11]11tt55t2t2[)t(f2006200632，故选B;3．选B解：当四边形顶点与正方形顶点重合时知t=4，排除A、C，又取各边中点时可得t=2，排除D，故选B;4．选B解：由于二面角C1－AB－D的平面角为450，所以在这个二面角及它的“对顶”二面角内，不存在过点P且与面ABCD和面ABC1Dl均成300角的直线．转而考虑它的补二面角，易知过点P有且仅有两条直线与面ABCD和面ABClDl均成300角．故满足条件的直线l有2条，选B;5．选A解：因为BC=42，设椭圆的另一个焦点为D．以DC为x轴，中点为原点建立直角坐标系．设椭圆方程为：1byax2222(ab0)，所以|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4a．即8+42=4a，a=2+2．|AD|=2a－|AC|=22．在直角三角形ADC中，24168|CD|2，6c2，24cab222故方程124y246x22为所求，选A；6．选C解法一：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法；再在选出的三条边上各选一点，有73种方法．这类三角形共有4×73=1372个．另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个．综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．解法二：31364CC37328二、填空题（本大题共6个小题．每小题6分．满分36分．请将正确的答案填在横线上．）7．1440解：设Sk=a1+a2+…+ak，易知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，从而S3m=810．又易知S2m－Sm，S3m－S2m，S4m－S3m成等差数列，即S4m=3S3m－3S2m+Sm=2430－1080+90=1440故填1440．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共8页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com8．1解：设f(t)=t3+sint．则f(t)在]2,2[上是单调增加的．由原方程组可得f(x)=f(－2y)=2a，又x，－2y∈]2,2[，，所以x=－2y，x+2y=0，故cos(x+2y)=1．故填1．9．34解：由题知，n个人人坐后，每两人中间至多有两只空椅子．故若能让两人中间恰好有两只空椅，则n最小．这样，若对已坐人的椅子编号，不难得一等差数列：1，4，7，…，100．从而100=1+3(n－1)，解得n=34．填34;10．65解：设BC中点为E，AD=2x．由中线公式得AE=257．由勾股定理，得120－15+57=x572，3827572xAE2ADnm，故m+n=27+38=65．故填65．11．223解：设点O是正方体的中心，则易得OQ=23，OP=22，则由三角不等式PQ≥OQ－OP=223．等号当且仅当三点O、P、Q共线时成立．又显然当点P为线段AB中点时，设射线OP与ABC1D1的外接圆的交点为Q时满足要求.故填223;12．243100解：由于骰子是均匀正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的．设事件An为“第n次过关失败”，则对立事件Bn为“第n次过关成功”第n次游戏中，基本事件总数为6n第1关：事件Al所含基本事件数为2(即出现点数1和2两种情况)．所以过此关的概率为P(B1)=1－P(A1)=32621；第2关：事件A2所含基本事件数为方程x+y=a当a分别取2、3、4时的正整数解组数之和，即6个．所以过此关概率为P(B2)=1－P(A2)=656612；第3关：事件A3所含基本事件数为方程x+y+z=a当a分别取3、4、5、6、7、8时的正整数解组数之和，即56个．所以过此关概率为P(B3)=1－P(A3)=272065613；故连过三关的概率为P(B1)×P(B2)×P(B3)=243100.故填243100。三、解答题（本大题共4个小题．满分78分，要求解答有必要的过程.）13．解：取（t，n）=(1，1)，(2，2)，(3，3)，容易验证知t=1，2，3时均不符合要求．………………………(4分)当t=4时，若n=l，式①显然成立．n≥2，则3322n3n422n2n2n1nn4…………………………(8分)金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共8页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com≤4n24n34n14n8n]4n22n23n22n2n[…(12分)4n4n24n4n16n8n故①式成立。因此t=4满足对任何正整数n，①式恒成立。…………(16分)14．解：在取定y的情况下，4y6xy3x8xy3x4y6x8xx4y3x212…………(4分)≥22y64y6y242．其中等号当且仅当8y3x时成立．……………………………(8分)同样，23y83y8zy4z6z1z2z3y4…………(12分)其中等号当且仅当z=3y2时成立．所以y3y82y6xyz1z2z3y4x4y3x2122=3112194)2732482(27y32y4822．其中第二个不等式中等号当且仅当y=21号时成立．…………………(16分)故当x=43，y=21，z=33等时，f(x，y，z)取得最小值194+1123．(18分)15．解：(1)设P、Q两点的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则k1+k2=1122221111111yxab2axyx2axyaxy①……………(4分)同理可得意k3+k4=2222yxab2②…………………………(7分)设O为原点，则OQ2BQAQBPAPOP2，所以OQOP，O，P，Q三点共线，于是得2211yxyx．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第7页共8页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com由①②得kl+k2+k3+k4=0；………………………………………(11分)(2)由点Q在椭圆上，有222222byax=1．由OQOP，得(xl，y1)=(x2，y2)．所以x2=1xl，y2=1yl，从而221221byax=2③又由点P在双曲线上，有221221byax=1④由