2007年北京航空航天大学复变函数与傅里叶变换考试试题及答案

12007年复变试题姓名______________学号一．选择题（30分）1.设,118iiz则223366zz的值为（）。A.i；B.1;C.i；D.12.方程1)Re(2z所代表的曲线是（）。A.圆周；B.椭圆；C.双曲线；D.抛物线3．函数Lnz在iez处的值为(k为整数)（）A.ik)12(;B.ik)12(;C.ik2;D.ik)212(4.设函数ivuzf)(在区域D内解析，则vu,的雅可比（Jacob）矩阵行列式yvxvyuxuyxvu),(),(（）。A.)(zf;B.)(zf;C.2)(zf;D.2)(zf5.设1:zC，则dzzzC3)2(sin=（）。A.i;B.i;C.0;D.i26.若,2,1,4,2,1,0,)1(3nncnnnn，则双边幂级数nnnzc的收敛域为（）。A．3141z；B.34z;C.z41;D.z317.设函数32zzctg在2iz内的奇点个数为（）。A.1;B.2;C.3;D.48．设)()]([FtfF，如果当t时，0)()(tduuftg，则])([72tduufF（）。2A．)2(217Feii；B.)2(127Feii;C.)(2127Feii;D.)(17Feii9.积分dttt)1()4(23的值为（）。A．)4(23t；B.8;C.10;D.1010.利用Laplace变换的性质，实积分（）。A．22222)(baab；B.22222)(baba;C.222)(2baab;D.222)(2baab二．填空题（21分）1．一复数对应的向量按逆时针方向旋转32后对应的复数为i1，则原复数是______________。2．已知,312iz则z的辐角主值为______________。３．函数22)(iyxzf，则)1(if_____________。4.设幂级数0nnnzc与0)][Re(nnnzc的收敛半径为1R和2R，那么1R和2R之间的关系是_________________。5．3cos2)(F的傅氏逆变换)(tf为_________________________。6．已知),()]([FtfF设)()()(),()()(021ttftftgtftftg，则)]([)(11tgFG___________________,)]([)(22tgFG__________________。三．判断下列命题的正误，正确的在后面的括号里划√，错误的划×（14分）。1．复变数的指数函数ze是以kk(2为正整数）为周期的周期函数。（）2．设ivuzf)(在区域D内是解析函数，如果u是实常数，那么)(zf在区域D内是是常数；如果v是实常数，那么)(zf在区域D内是常数；。（）3．若0z是函数)(zf的奇点，则)(zf在0z点不可导。（）)0(dsin0atbtteat34．被积函数)(zf在10z内解析，且沿任何圆周rzC:(10r)的积分等于零，则)(zf在0z处解析。（）5．在0z处解析且在nzn1处取下列值,,,,,,,,8181616141412121的函数)(zf是不存在的。（）6．设)(),()()(0zzzzzfm在0z点解析，m为自然数，则0z为)(zf的m级极点。（）7．若0z为偶函数)(zf的一个孤立奇点，则0]0),([Rezfs。（）四．计算题（27分）1．求积分222)1()89(zzdzzzezzI2.函数2)1(1zzez在有限复平面有些什么类型的奇点，如果是极点，指出其级数，并求出这些奇点处的留数。43．求函数)1(1)(2zzzzf在10z及11z内的洛朗展式。4．利用Laplace变换求初值问题1)0(,0)0(,32yyeyyyt的解。5五．证明题（8分）已知)(,,)(0000ttetft，证明0,00,20,sincos022tttedttt。2007—2008年“复变函数及积分变换”考试题（A）答案及评分标准一．选择题（共30分，每题3分）1B,2C,3A,4C,5C,6A,7D,8B,9D,10C二．填空题（共21分，每空3分）1.ie1252，2.32，3.2,4.21RR5.)3()3(tt,6.)(),(220FeFiti.三．判断题（共14分，每题2分）1．×2．√63．×4．×5．√6．×7．√四．计算题（共27分）1．（7分）解：被积函数22)1()89(zzezzz在2z内有两个奇点，0z为一级极点，1z为二级极点。分别以,0z1z为圆心作两个小圆22111:,:rzCrzC，使它们互不包含互不相交。则212222)1()89()1()89(CzCzdzzzezzdzzzezzI-------------2分12)89(282zzzezziiiei1416-------------5分（第1个积分2分，第二个积分3分）2．（7分）解：令2)1(1)(zzezfz，因为1)1(1lim20zzezz，0z为可去奇点，------------------2分0]0),([Rezfs；-------------1分因为1z是函数2)1(zz的二级零点，不是函数1ze的零点，所以1z为函数)(zf二级极点。--------------2分1)1()1(1lim]1),([Re221zzzezfszz--------------2分3．（5分）（1）10z，0201022))(11()11(1)(nnnnnnzzzzzzzzzf------------2分7（2）11z)1(11)1(1)1(1111111)1(1)1111(11)11(11111)(0222222zzzzzzzzzzzzzzzzzfnnn--------------1分0201)1(1)1()1())1(1)1(()111111()111()1(nnnnnnznzzzzz-----------------2分原式12120302)1(1)1()1()1(1)1(1)1()1()1(1)1(nnnnnnnnnznzznz4．设)()]([sYtyL，对方程的两边取Laplace变换，则得11)(3)0(2)(2)0()0()(2ssYyssYysysYs--------------3分将初始条件代入整理得12)()32(2sssYss即183381141)1)(3)(1(2)(ssssssssY-------------2分取其Laplace逆变换得ttteeety838141)(3，0t---------------3分五．证明题（8分）证明：iiedteedtetfFititti0)(0)()(--------3分再取其傅氏逆变换得在)(tf的连续点处8dttdttittdtitideitfti0222222)sincos(1)]cossin()sincos[(12)sin(cos221)(-----------2分在0t处22)0()0()sincos(1022tftfdtt------------1分因此0,00,20,)sincos(1022tttedttt-------------2分