2007年北师大版数学中考专题复习------动态几何

2007年北师大版数学中考专题复习------动态几何图形的运动变化问题。【典型例题】例1.已知；⊙O的半径为2,∠AOB＝60°，M为AB的中点，MC⊥AO于C,MD⊥OB于D，求CD的长。分析：连接OM交CD于E，∵∠AOB＝60°，且M为AB中点∴∠AOM＝30°，又∵OM＝OA＝2∴OC3∴CECD323，例2.如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AE的中点D，DC⊥BC，垂足为C。（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）（2）若∠ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1））分析：（1）AB＝BEDC＝CE∠A＝∠EDC为⊙O切线（2）若∠ABC为直角则∠A＝∠E＝45°，DC＝BCDC∥AB，DC＝CE，BE为⊙O的切线DCABBE1212例3.在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图的设计方案是AC＝8，BC＝6。（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？分析：（1）∵AB为半圆直径∴∠ACB＝90°∵AC＝8，BC＝6∴AB＝10∴△ABC中AB边上高h＝4.8m（2）设DN＝x，CM＝h＝4.8则MP＝xNFABCPCMNFx104848..NFx102512SNDNF·xxxxxx()()102512251210251224522当x125时，水池面积最大。例4.正方形ABCD的边长为6cm，M、N分别为AD、BC中点，将C折至MN上，落在P处，折痕BQ交MN于E，则BE＝______cm。分析：△BPQ≌△BCQBP＝BC＝6连接PC，∵BP＝PC（M、N为中点）∴△BPC为等边三角形∴∠PBC＝60°，又∵∠∠＝°QBCPBC1230∴在Rt△BEN中，BN＝3∴BE23例5.一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是。分析：A（0，1），B（3，3），则OA＝1过B作BM⊥x轴于M则BM＝3，OM＝3又∵AC与CB为入射光线与反射光线∴∠AOC＝∠BCM∴△AOC∽△BMC∴AOBMOCCM∴133OCOC∴OC34∴AC54同理：BC154∴ACBC2045例6.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。分析：（1）AD⊥MNBE⊥MN∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠DAC＋∠DCA＝90°又∵∠ACB＝90°∴∠DCA＋∠ECB＝90°∴∠DAC＝∠ECB∵AC＝BC∴△ADC≌△CEB∴DC＝BEAD＝CE∴DE＝DC＋CE＝BE＋AD（2）与（1）同理△ADC≌△CEB∴CD＝BEAD＝CE∵DE＝CE－CD＝AD－BE（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时与（1）（2）同理可知CE＝AD，BE＝CD∵DE＝CD－CE＝BE－AD例7.把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）。（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的516？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由。分析：（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变.证明：连结CG∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点∴CG＝BG,CG⊥AB∴∠ACG＝∠B＝45°∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH＝∠CGK∴△BGH≌△CGK∴BH＝CK,S△BGH＝S△CGK∴S四边形CHGK＝S△CHG＋S△CGK＝S△CHG＋S△BGH＝S△ABC＝××4×4＝4即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化（2）∵AC＝BC＝4，BH＝x，∴CH＝4－x，CK＝x由S△GHK＝S四边形CHGK－S△CHK，得y＝14(4)2xx∴yxx12242∵0°＜α＜90°，∴0＜x＜4（3）存在。根据题意，得122451682xx×解这个方程，得xx1213，即：当x1或x3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的516。例8.经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A上和C、D四点（在图⑤、⑥中，有重合的点），得到了如图①～⑥所表示的六种不同情况。（1）在六种不同情况下，PA、PB、PC、PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来，首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况，给出它的证明；（2）已知⊙O的半径为一定值，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过点P任作一直线交⊙O于不重合的两点C、D，PC·PD的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。分析：（1）PA·PB＝PC·PD证明：连接AC、BD则△ACP∽△DBP∴APDPCPBP∴AP·BP＝CP·DP（2）PC·PD的值为定值（当P在圆外时）借助图⑤，过P作⊙O切线PA则PAPCPD2·（连接PO交⊙O于E,并延长交⊙O于F时）又有222()()PAPEPFOPrOPrOPr·∴PCPDPEPFOPr··22（当P在圆内时）借助图②，连接OP并延长分别交⊙O于E，F时22PCPDPEPFrOP·例9.如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。（1）当∠QPA＝60°时，请你对ΔQCP的形状做出猜想，并给予证明。（2）当QP⊥AB时，那么ΔQCP的形状是________三角形。（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，ΔQCP一定是____三角形。分析：（1）△QCP是等边三角形证明：连接OQ，则∵CQ为⊙O切线∴CQ⊥OQ，∴∠CQO＝90°∵PQ＝PO，∠QPC＝60°∴∠POQ＝∠PQO＝30°∴∠C＝90°－30°＝60°∴∠CQP＝∠C＝∠QPC＝60°∴△QPC是等边三角形（2）等腰直角三角形（3）等腰三角形例10.如图甲、乙、丙，在图甲中，以O为圆心，半径分别为R，r（R＞r）的两个同心圆中，A、D为大⊙O上的任意两点，小圆O的割线ABC与DEF都经过圆心O现在我们证明：AB·AC＝DE·DF证明：因为小⊙O的割线ABC与DEF都经过圆心O，所以AB＝R－r，AC＝R＋r，DF＝R－r，DE＝R＋r，所以AB＝DE，AC＝DF，故AB·AC＝DE·DF。阅读上述证明后，完成下列两题：（1）将图甲变换成图乙（ABC不经过圆心O，DEF经过圆心O）．求证：AB·AC＝DE·DF（2）将图乙变换成图丙（ABC与DEF都不经过圆心O），请对图丙中有关线段之间存在的关系，做出合理猜想，并给予证明。分析：（1）连接AO并延长与小⊙O交于B'、C'两点可证得：ABACDEDF''··，而ABACABAC··''∴ABACDEDF··（2）猜想AB·AC＝DE·DF，连接DO交小⊙O于E'、F'由（1）得AB·AC＝DE'·DF'，而DE'·DF'＝DE·DF故猜想成立。【模拟试题】一、填空题：1.方程()x212的根是。2.已知a，b是方程22610xx的两根，则代数式()abab的值是________。3.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的负半轴相交。请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：。4.抛物线yxx221与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为________。5.已知，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径＝。6.如图，直线TB与△ABC的外接圆相切于点B，AD∥BC,∠BAD＝70°,∠ACB＝40°，则∠TBC＝。7.如图，AB为半圆O的直径，C、D是AB上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积为。8.已知r1、r2分别是⊙O1、⊙O2的半径,两圆有且只有一条公切线,O1O2＝3,r1＝5,则r2＝。9.一圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径r为cm。10.某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表所示：分数段18分以下18—20分21—23分24—26分27—29分30分人数2312201810那么该班共有人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是.二、选择题：11.已知关于x的一元二次方程220xxk有实数根，则k的取值范围是（）A.k≤1B.k≥1C.k＜1D.k＞112.使关于x的分式方程axxax2224222产生增根的a的值是（）A.2B.－2C.±2D.与a无关13.为适应国民经济持续协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速，提速后火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x、y应满足的关系式是（）A.x－y＝1326742.B.y－x＝1326742.C.13261326742xy＝.D.13261326742yx.14.把抛物线yxbxc2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是yxx235，则有（）A.b＝3，c＝7B.b＝－9，c＝－15C.b＝3，c＝3D.b＝－9，c＝2115.二次函数yaxbxc2的图象如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的为（）A.ab＜0B.bc＜0C.a＋b＋c＞0D.a－b＋c＜016.已知点（－1，y1）,(－3，y2),(－0.5，y3)在函数yxx36122的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.yyy123B.yyy213C.yyy231D.yyy31217.下列语句中正确的有（）A.相等的圆心角所对的弧相等；B.平分弦的直径垂直于弦；C.长度相等的两条弧是等弧；D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。18.已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为23cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为（）A.1cmB.2cmC.2cmD.3cm19.如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA＝DC,∠AOC＝160°，则∠BCO等于（）A.20°B.30°C.40°D.50°20.如图，PT是⊙O的切线,T为切点,PBA是割线,交⊙O于A、B两点,与直径CT交于点D,已知CD＝2,AD＝3,BD＝4,那么PB等于（）A.6B.615C.20D.7三、解答题：21.解方程（1）08032..xx（2）xx131222.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连结AE，EF。（1