2007年宁波市高一数学竞赛

12007年宁波市高一数学竞赛(二试)2007年5月13上午9:0011:00注:本试卷可使用计算器.一、选择题：本大题共有10小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。1、,ab为实数，集合,1,,0,:bMPafxxa表示把集合M的元素x映射到集合P中仍为x，则ab（A）1（B）0（C）1（D）12、21sin40cos201cos160化简的结果为（A）1sin40（B）1cos20sin20（C）1（D）13、已知(0,1),(2,2),(4,6)ABC，则AB在AC方向上的投影为（A）741（B）741（C）713（D）7134、在数列na中，1111,,4nnnaaaa则99a（A）125504（B）2500（C）124504（D）24015、已知函数()sin()(0,)fxxxR满足(1)()(1)fxfxfx对任意的xR都成立。若sin(9),sin(9)AxBx，则A与B的大小关系是（A）AB（B）AB（C）AB（D）不确定6、设,,abc为实数，440,20abcabc。则下列四个结论中正确的是（A）2bac（B）2bac（C）20baca且（D）20baca且7、设()sinfxxx，若12,,22xx且12()()fxfx，下列结论中必定成立的是（A）12xx（B）120xx（C）12xx（D）2212xx8、曲线5sin(2)6yx与直线yx的交点个数是（A）5（B）6（C）7（D）89、函数f定义在正整数有序对的集合上，并满足(,),(,)(,),fxxxfxyfyx2()(,)(,)xyfxyyfxxy，则(14,52)f的值为（A）364（B）182（C）91（D）无法计算10、O是平面上一定点，,,ABC平面上不共线的三个点，动点P满足(),coscosABACOPOARABABCACBCA，则P的轨迹一定通过ABC的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心二、填空题目：本大题共10小题，每小题6分，满分60分。要求直接将答案写在横线上。11、函数22(1)2yaxax在区间,4上递增，则实数a的取值范围是。12、平面点集(,)cossin,,1,2MxyyxZyx，用列举法表示M。13、已知数列na中，1212121,2,nnnnnnaaaaaaaa，则20071iia。14、已知sin(2)3sin,,(,)22knknZ，则tan()tan。15、已知实数,xy满足55(3)40xyxxy，则4xy。16、已知()fx是定义在0,上的增函数，当nN时，有(),()3,fnNffnn则(1)(2)ff。17、若1,,,,414141,abcabcRaaam则m最小值是。18、若x表示不大于x的最大整数，则使得2222log1log2log3log2007n成立的正整数n的最小值是。19、已知xR，则函数sincos()maxsin,cos,2xxfxxx的最大值与最小值的和等于。20、已知集合2211xkxMyyxx任取,,abcM以,,abc为长度的线段都能构成三角形，则实数k的取值范围为。三、解答题：本大题共2小题，每小题15分，满分30分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。21、已知二次函数2()(,,)fxaxbxcabcR满足条件：对任意实数x都有()2fxx；且当02x时，总有21()(1)2fxx成立。3（1）求(1)f的值；（2）求(1)f的取值范围。22、已知函数()yfx满足21(,),(,1)axybxx，且1ab。如果存在正项数列na满足：321111,()()2nniiniiafanananN。（1）求数列na的通项；（2）证明：13niiai。4参考答案一、选择题：CCBBBBDCAD二、填空题：11、1,0312、111(1,),(0,),(1,)22213、401414、215、016、517、2118、31419、21220、210,57三、解答题：21、解：（1）(1)2f5分（2）对任意实数x都有()2fxx，即2(2)0axbxc恒成立，∴20(2)40abac，由于(1)2,,22fabcacba。此时2211()(1)()(1)22fxxax，当02x时，总有21()(1)2fxx成立，10,(1)422afabca的取值范围是2,0。15分22、证明：（1）33211332211111,1(0),()(),,(1)nniiniinnnniiininiiiiabyxxxfanananNaaanaana又1211(1)(2)niniana两式相减得：111nnanan。则121211()(1)nnnnnaaaanNaaann5分（2）由（1）得：2211111211,(2)(1)(1)(1)(1)11(1)(1)(11)nniiiaiiiiiiiiiiiiiii22122111111()(1)2(1)211nnniiiiiiiii11111123221nn15分