2007年江苏专转本高等数学真题

2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、若2)2(lim0xxfx，则)21(limxxfx（）A、41B、21C、2D、42、已知当0x时，)1ln(22xx是xnsin的高阶无穷小，而xnsin又是xcos1的高阶无穷小，则正整数n（）A、1B、2C、3D、43、设函数)3)(2)(1()(xxxxxf，则方程0)('xf的实根个数为（）A、1B、2C、3D、44、设函数)(xf的一个原函数为x2sin，则dxxf)2('（）A、Cx4cosB、Cx4cos21C、Cx4cos2D、Cx4sin5、设dttxfx212sin)(，则)('xf（）A、4sinxB、2sin2xxC、2cos2xxD、4sin2xx6、下列级数收敛的是（）A、122nnnB、11nnnC、1)1(1nnnD、1)1(nnn二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数020)1()(1xxkxxfx，在点0x处连续，则常数k8、若直线mxy5是曲线232xxy的一条切线，则常数m9、定积分dxxxx)cos1(43222的值为10、已知a，b均为单位向量，且21ba，则以向量ba为邻边的平行四边形的面积为11、设yxz，则全微分dz12、设xxeCeCy3221为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限xxxexxtan1lim0.14、设函数)(xyy由方程xyeeyx确定，求0xdxdy、022xdxyd.15、求不定积分dxexx2.16、计算定积分dxxx122221.17、设),32(xyyxfz其中f具有二阶连续偏导数，求yxz2.18、求微分方程2'2007xyxy满足初始条件20081xy的特解.19、求过点)3,2,1(且垂直于直线01202zyxzyx的平面方程.20、计算二重积分dxdyyxD22，其中0,2|),(22yxyxyxD.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、设平面图形由曲线21xy（0x）及两坐标轴围成.（1）求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a的值，使直线ay将该平面图形分成面积相等的两部分.22、设函数9)(23cxbxaxxf具有如下性质：（1）在点1x的左侧临近单调减少；（2）在点1x的右侧临近单调增加；（3）其图形在点)2,1(的两侧凹凸性发生改变.试确定a，b，c的值.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设0ab，证明：dxxfeedxexfdybaaxxbyyxba)()()(232.24、求证：当0x时，22)1(ln)1(xxx.2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、C3、C4、A5、D6、D7、2ln8、19、210、2311、dyyxdxy2112、06'5''yyy13、解：212lim21lim1limtan1lim00200xxxxxxxxexexxexxxe.14、解：方程xyeeyx，两边对x求导数得''xyyyeeyx，故xeyeydxdyyx'.又当0x时，0y，故10xdxdy、2022xdxyd.15、解：)(22)(2222xxxxxxedxexdxxeexedxdxexCexeexxxx222.16、解：令txsin，则41sincos1242212222dtttdxxx.17、解：'2'12yffxz，)3()3(2''22''21'2''12''112xffyfxffyxz'2''22''12''11)32(6fxyffyxf18、解：原方程可化为xyxy20071'，相应的齐次方程01'yxy的通解为Cxy.可设原方程的通解为xxCy)(.将其代入方程得xxCxCxxC2007)()()('，所以2007)('xC，从而CxxC2007)(，故原方程的通解为xCxy)2007(.又2008)1(y，所以1C，于是所求特解为xxy)12007(.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下）19、解：由题意，所求平面的法向量可取为)3,1,2(112111)1,1,2()1,1,1(kjin.故所求平面方程为0)3(3)2()1(2xyx，即0532zyx.20、解：916cos38203cos20220222ddddddxdyyxDD.21、解：（1）1022158)1(dxxV；（2）由题意得aadyydyy012121)1()1(.由此得2323)1(1)1(aa.解得31)41(1a.22、解：cbxaxxf23)(2'，baxxf26)(''.由题意得0)1('f、0)1(''f、2)1(f，解得1a、3b、9c23、证明：积分域D：bxybya，积分域又可表示成D：xyabxadyedxexfdyexfdxexfdxexfdyxaybaxxayxbaDyxbyyxba22222)()()()(dxxfeedxeeexfbaaxxbaaxx)()()()(232.24、证明：令11ln)(xxxxF，显然，)(xF在,0上连续.由于0)1(1)(22'xxxxF，故)(xF在,0上单调递增，于是，当10x时，0)1()(FxF，即11lnxxx，又012x，故22)1(ln)1(xxx；当1x时，0)1()(FxF，即11lnxxx，又012x，故22)1(ln)1(xxx.综上所述，当0x时，总有22)1(ln)1(xxx.