2007年考研数学命题趋向及复习对策

12007年考研数学命题趋向及复习对策北京领航名师铁军一、2006年考研数学试题透视从考生的反映来看，一部分考生认为2006年考研数学试题难度适中，还有一部分考生认为2006年考研数学试题较难（特别是数学三、四的考生），尤其是最后几道大题。不过，高校的数学教师特别是考研辅导老师普遍认为这是一份好试卷：2006年的研究生数学命题立意明确，情景新颖，叙述简捷，形象直观，富于新意。实现了其选拔功能，同时对高等学校数学基础课的教学发挥了良好的导向作用。2006年的研究生数学试题遵循并紧扣《数学考研大纲》，知识与能力并举，很好地考查了思维、运算、空间、应用、推理等几方面的能力。问题设计新颖、自然、平和。2006年考研数学试卷的一个重要特点是“活”，从第一题开始，便要求考生能灵活运用所学基础知识解答，一些综合性的题目更要求考生快速调动一些基础知识融会贯通地解答，在考查基础知识的同时，注重对数学思想方法和数学能力的考查，在强调综合性的同时，重视试题的多角度、多层次性。从试题结构看，2006年的题型整体保持了2005年的结构特点，但稳中有变，题目的形式更趋于新颖、科学、合理和生动。1.突出对基础知识和主干知识的重点考查2006年考研数学的大多数试题的入口都比较宽，起点不高。选择题和填空题都从高等数学、线性代数和概率统计的基础知识、重点内容、基本方法出发设计命题；解答题在考查考生数学基础知识的同时，注重对学科的内在联系和知识的综合的重点考查，并达到了必要的深度，构成考研数学试题的主体，让不同层次的考生都能展示自身的综合素质和综合能力。2.知识覆盖面广2006年考研数学各卷全面考查基础知识，试卷的覆盖面有所提高，每章节都有题目考查，有效地提高了内容效度。对数学基础知识的考查，要求全面，但不刻意追求知识点的百分比，突出重点，即重点内容重点考查。题目体现教学重点，既保证一定的比例，又保持应有的深度，试题难易适当，不出偏题、怪题和助长死记硬背的题目。3.注重知识的综合性，突出能力考查2006年的命题中在考查知识的同时，继续加强能力的考查。力图通过数学科的考试，不但能考查出考生数学知识的积累是否达到继续学习的基本水平，而且以数学知识为载体，测量出考生将知识迁移到不同情境的能力，从而检测出考生已有的和潜在的学习能力。首先是抽象思维能力和逻辑推理能力的考查。例如数学一的第19题：（19）（本题满分12分）设在上半平面(,)|0Dxyy内，函数(,)fxy具有连续偏导数，且对任意的0t都有2(,)(,)ftxtytfxy.证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有(,)d(,)d0Lyfxyxxfxyy.【分析】利用曲线积分与路径无关的条件QPxy.【详解】2(,)(,)ftxtytfxy两边对t求导得3(,)(,)2(,)xyxftxtyyftxtytfxy.令1t，则(,)(,)2(,)xyxfxyyfxyfxy.①2设(,)(,),(,)(,)PxyyfxyQxyxfxy，则(,)(,),(,)(,)xyQPfxyxfxyfxyyfxyxy.则由①可得QPxy.故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有(,)d(,)d0Lyfxyxxfxyy。这些都需要一定的逻辑推理能力。运算能力是思维能力与运算技能的结合。要求考生能够理解算理，会根据法则、公式、概念进行函数、方程、向量、矩阵、随机变量等的正确运算和变形；能分析条件，寻找与设计合理、简洁的运算途径；例如数学一的第21题和数学二的第23题：设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax的两个解.(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQAQ.【分析】由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax有非零解可知A必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q.【详解】(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以1311331131A，则由特征值和特征向量的定义知，3是矩阵A的特征值，T(1,1,1)是对应的特征向量.对应3的全部特征向量为k，其中k为不为零的常数.又由题设知120,0AA，即11220,0AA，而且12,线性无关，所以0是矩阵A的二重特征值，12,是其对应的特征向量，对应0的全部特征向量为1122kk，其中12,kk为不全为零的常数.(Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以与12,正交，所以只需将12,正交.取11，21221111012,3120,61112.3再将12,,单位化，得121231211136212,,036111236，令123,,Q，则1TQQ，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得T300QAQ.空间想象能力应包括根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能根据图形特点和题目要求对图形进行分解变形。数学三的第18题等都需要考生想象平面图形的形成过程和形状：（18）（本题满分8分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点1,0M，其上任意点,0Pxyx处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）.(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时,确定a的值.【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】(Ⅰ)设曲线L的方程为()yfx，则由题设可得yyaxx，这是一阶线性微分方程，其中1(),()PxQxaxx，代入通解公式得11dd2eedxxxxyaxxCxaxCaxCx，又(1)0f，所以Ca.故曲线L的方程为2yaxax(0)x.(Ⅱ)L与直线yax（0a）所围成平面图形如右图所示.所以220dDaxaxaxx220482d33axxxa，故2a.数学试卷对能力的考查要求考生对课程内容能够融会贯通，把重点放在系统地掌握课程内容的内在联系上，放在运用分析问题的方法和解决问题的能力上。因此命题中尽量避免刻板、繁难和偏怪的知识考查，避免死记硬背的内容和烦琐计算。突出以能力立意，特别注重知识的综合4性和灵活应用。提高对解决问题的能力的要求，增加思考量，控制计算量，要求考生抓住问题的实质，对试题提供的信息进行分检、组合、加工，寻找解决问题的方法。设计试题注意研究试题的能力层次要求，设计出不同解题思想层次的试题，使善于知识迁移和运用思维块减缩思维的考生能用敏捷的思维赢得时间，体现其创造能力。目的是引导教师、学生在教学和复习中把精力放在理解、思考、分析和解决问题上。这样的试题，不同于知识型的试题，能力型的试题没有固定的模式，难有现成的方法和套路可以套用，思维水平要求较高，不强调死记硬背和解题技巧，思维容量大，运算量较小，能有效展示学生的思维水平和创造意识，完成这样的试题需要一定的能力素质，依靠“题海”和大运动量的操练是难以奏效的。不少考生还不十分适应，这是部分考生考试成绩偏低、感觉试题较难的原因所在。二、2007年考研数学命题趋向1.随着考生人数的大幅度增加，考生的平均水平将不可避免地有所降低。为控制整卷难度，命题之前老师一定会认真了解、分析当年考生的实际水平，注重试题水平与考生水平的基本吻合，恰当控制试卷中各个试题的难度。同时还要考虑考生差别较大的事实，在每种题型中都编拟一些较易的试题，使大部分考生都能得到一些基本分。在每种题型中都编拟有一定难度的试题，实现选拔的目的。因此，2007年考研数学试题一定会以中等难度偏下的试题为主。2.考研数学试卷中一部分题目是对课本上的题进行了扩展、综合和变形，所以考生应该对课本上的题目作到烂熟于心。3.最近两年经济类和理工类的考研数学试题通用性较高，因此数一和数二的考生复习时可适当降低难度，而数三和数四的考生应该适当提高复习难度。4.从2006年数学考试情况来看，有很多考生表现出了很高的数学造诣和较强的数学能力，但整体得分较低，说明考生的基础还不够扎实，学习和复习中还存在一些问题。首先是推理论证能力没有达到要求。其次是分析问题和解决问题的能力有一定的差距，特别是处理应用题和证明题的能力。考生对常见的试题类型和知识点得分情况较好，对大纲中要求的但在以前考试中出现频率低的试题和内容，特别是一些立意和形式新颖的试题，得分情况就不好，说明考生知识掌握的不够全面，有应试倾向，不利于考生能力的全面发展。还要注意综合题目，因为在教学中，各部分内容是单独讲的，综合训练的时间较少，而研究生考试更多是多个知识点联系在一起，要彻底理清各章的关系和各个知识点的联系，综合应用知识解决问题。另外运算能力不过关，会而不全，算而不对的情况在试卷中很常见，线性方程组解错、导数求错、积分公式记错、分布列写错等，这也是考生在学习和复习中应着力解决的问题。三、2007年考研数学目标复习对策考研数学的范围和要求是《考研数学大纲》，复习的主要目标是提高解题能力，复习的根本在于吃透本科课本和教材，最后，数学成绩得高分是复习的硬道理。很多同学觉得，本科数学课本上面的题目很简单，都是曾经学过的内容，复习数学时，很多学生去做其他一些他们认为难度更高的习题，可是到考试的时候往往是难题做不完整，简单的题目却容易失分——尤其是前面的选择题、填空题这样一些小题。所以要特别注重学习课本，把课本上的基本题目都做到位，这也是我要讲的第一点。第二点就是课本上的基本概念和基本思路。课本上面不光是习题重要，更重要的是它的基本概念和基本思路。数学课本有一些非常细微的概念和原理是容易被忽视的，而考试的时候，往往就是把那些我们忽视的问题拎出来考。而一考大家就“倒一大片”。所以我们在看课本的时候，一定要把课本上的每一个字，每一个句子，即使很细小的一些原理都要看到。第一轮复习不要搞题海战术，一般情况下把教材基本概念搞清楚，该背的东西理解性记下来，关键是书上的例题要弄懂，然后做一些综合练习就可以了。复习时注意选择合适的教材，很多高校都在用的教材难度比较适中。铁军老师推荐的教材是：《高等数学》选用同济大学主编（第四版）；《线性代数》选用同济大学主编（第四版）；《概率论与数理统计》选用浙江大学主编（第三版）。一般同学可以用这本书，或者自己学校里学的教材也可以，要根据个人的实际情况。如果数学学的比较好，三本书看完，第一轮差不多两个半月时间，如果数学不太好，要花三个月多一点，不管怎么样，在7月份以前看完的话，应该是来得及，按照正常轨迹完成所有的计划，在7月份把基础打牢就可以了。5由于数学课一般在大一、大二都已修完，到现在有些内容已经不那么熟悉了。因此，必须对原学过的数学课程（高等数学、线性代数、概率论与数理统计）再进行全面的复习。我这里所说的全面，指的是对考试的每一科内容都要认真复习。注重“三基”（基本概念、基本方法和基本性质）的复习非常重要。从近年的考题可以看出，基本概念、基本方法、基本性质一直是考试的重点。因此，注重基础是复习的基本方向。在复习中，一定要掌握各部分知识间的联系和区别，理解基本概念和性质的内涵与外延。这样，有利于提高解答综合试题的能力。同时，还要注重计算能力的提高。一个试题可能有多种解法，应力求