2007年荆门市高一数学竞赛试题

高一数学试题第1页（共4页）2007年荆门市高一数学竞赛试题一、选择题：每小题6分，共36分。将答案代号填入题后的括号内。1.已知全集U=R,且A=｛x︱︱x－1︱2｝,B=｛x︱x2－6x+80｝，则(UA)∩B等于（）A.[－1,4]B.(2,3)C.(2,3]D.(－1,4)2.函数)(xf的部分图象如右图所示，则)(xf的解析式可能是（）A．()cosfxxxB．()sinfxxxC．()cosfxxxD．()sinfxxx3.设有两个命题，p：不等式︱x︱+︱x+1︱＞a的解集为R；q：函数f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，那么实数a的取值范围是（）A．［1，2）Ｂ.（２，37］C．［2，37］D．（1，2］4.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn－n－6|1251的最小整数n是（）A．5B．6C．7D．85.函数33fxxx的值域为（）A．1,2B．1,3C．31,2D．1,26.当(0,)4x时，下面四个函数中最大的是（）A.sin(cos)xB.sin(sin)xC.cos(sin)xD.cos(cos)x二、填空题：每小题9分，共54分。将答案填在题后横线上。7.已知sin(2)3sinaa，且1,,(,)22kannkZ，则tan()tana的值是____________________。8.若函数)(xf与xxg2)(互为反函数，则)3(2xxf的单调递增区间是_________。Oxy高一数学试题第2页（共4页）9.函数f定义在正整数集上，且满足f(1)＝2007，f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝n2f(n)，（n1），则f(2007)的值是_________________。10.已知32nna，把数列{}na的各项排成三角形状如右图所示；记(,)Aij表示第i行中第j个数，则(10,8)A。11.已知)(xf是定义在R上的函数，且)2(1)2(1)(xfxfxf，若(3)23f，则(2007)f的值为。12.已知函数xcxbaxf2cos2sin)(的图象经过点A（0，1）、(,1)[0,]44Bx，且当时，()fx的最大值为122，则()fx的解析式为()fx＝。三、解答题：每小题20分，共60分。解答应写出必要的文字说明、运算过程或推理步骤。13.（本小题满分20分）已知51cossin,02xxx.（I）求sincosxx的值；（Ⅱ）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值.12345678910111213141516aaaaaaaaaaaaaaaa高一数学试题第3页（共4页）个个14.（本小题满分20分）已知数列{}na中各项为：12、1122、111222、……、111n222n、……（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（Ⅱ）求这个数列前n项之和Sn.高一数学试题第4页（共4页）15.（本小题满分20分）设二次函数2(),(,,)fxaxbxcabcR满足下列条件：①当xR时，()fx的最小值为0，且(1)(1)fxfx成立；②当(0,5)x时，()xfx≤21x+1恒成立。（Ⅰ）求(1)f的值；（Ⅱ）求()fx的解析式；（Ⅲ）求最大的实数m(m1),使得存在实数t,只要当x∈1,m时，就有()fxtx成立。高一数学试题第5页（共4页）2007年荆门市高一数学竞赛试题参考答案1．C解：全集,UR且|12{|1或3},Axxxxx2|680{|24},Bxxxxx∴(UA)∩B=(2,3]，选C.2.B解：由)(xf=0排除A；对于()cosfxxx有()02f，排除C；由()sinfxxx为偶函数图象关于y轴对称，排除D.∴选B。3.A解：记A＝{a︱不等式︱x︱+︱x+1︱＞a的解集为R}，B＝{a︱f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）上是增函数}，由于函数y＝︱x︱+︱x+1︱的最小值是1，∴A＝{a︱a＜1}.由于f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）上递增，∴7－3a＞1，即a＜2，∴B＝{a︱a＜又p或q为真，p且q为假，∴p与q中有且仅有一个正确，即a的取值范围是［（ðＲＡ）∩B］∪［（ðＲB）∩A］，而（ðRA）∩B＝［1，2），（ðＲB）∩A＝故选Ａ.4.C解：由递推式得：3(an+1－1)=－(an－1)，则{an－1}是以8为首项，公比为－31的等比数列，∴Sn－n=(a1－1)+(a2－1)+…+(an－1)=311])31(1[8n=6－6×(－31)n，∴|Sn－n－6|=6×(31)n1251，得：13250n，∴满足条件的最小整数7n，故选C。5.D解：fx的定义域为01,x则可令2sin,02x，则31fxxx2sin31sinsin3cos2sin()3因5336，则1sin()1,12sin()2233故选D6.C解：因为(0,)4x，所以20sincos12xx。于是有cos(sin)cos(cos)xx，sin(sin)sin(cos)xx。又因为sincos2sin()242xxx，即cossin2xx，所以有sin(cos)sin(sin)cos(sin)2xxx。因此，cos(sin)x最大。故选C.7.2解：∵sin(2)sin[()]sin()coscos()sin3sinsin[()]sin()coscos()sintan()1tan()tantantan()tan()tan1tan∴()2tanatan8.11[,)639.11004解：由题f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝n2f(n)，f(1)＋f(2)＋…＋f(n-1)＝(n－1)2f(n－1)。∴f(n)高一数学试题第6页（共4页）＝n2f(n)－(n-1)2f(n-1)∴f(n)＝nnnfnnnnnfnn)1(12)2()1()2)(1()1(11f(1)∴f(2007)＝2(1)1200820031004f10.8932解：各行数的个数构成一个等差数列，则前9行共有99(91)912812S项，∴(10,8)A是数列{}na中的第89项，∴89(10,8)32A。故应填893211.23解：)4(1)4(22)4(1)4(11)4(1)4(11)2(1)2(1)(xfxfxfxfxfxfxfxfxf)8()(xfxf，即函数的周期为8，故11(2007)(7)32(3)23fff。12.22sin(2)14x解：由acbbacaff1111)4(1)0(即得axaxxaaxf)42sin()1(2)2cos2)(sin1()(当32[0,]2[,],sin(2)[,1]444442xxx时，当1－a＞0，即a＜1时，1122)1(2)(maxaaaxf得；当1－a＜0即a＞1时，,12222)1(2)(maxaaxf无解；当1－a=0，即a=1时，122)(maxaxf，相互矛盾.故1)42sin(22)(xxf13.解：解：(Ⅰ)由1sincos5xx,得221(sincos)()5xx,得242sincos25xx，∵2(sincos)12sincosxxxx=4925,又0,2x∴sin0,cos0xx,∴7sincos5xx(Ⅱ)xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322=22sinsin12sincos(2cossin)sincoscossinxxxxxxxxxx=121108()(2)25512514.解：（Ⅰ）12(101)10(101)99nnnna1(101)(102)9nn高一数学试题第7页（共4页）101101()(1)33nn记：A=1013n,则A=333n为整数na=A(A+1)，得证(Ⅱ)21121010999nnna2422112(101010)(101010)999nnnSn2211(101110198210)891nnn15.解：(Ⅰ)在②中令x=1,有1≤f(1)≤1,故f(1)=1(Ⅱ)由①知二次函数的关于直线x＝—1对称,且开口向上故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a0),∵f(1)=1,∴a=41∴21()(1)4fxx(Ⅲ)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.则f(x+t)≤x41(x+t+1)2≤xx2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1≤0.令g(x)=x2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1,g(x)≤0,x∈[1,m].40(1)0()01212tggmttmtt∴m≤1－t+2t≤1－(－4)+2)4(=9t=－4时,对任意的x∈[1,9]恒有g(x)≤0,∴m的最大值为9.个