2007年高中总复习第一轮数学第七章7.4简单的线性规划

7.4简单的线性规划巩固·夯实基础一、自主梳理1.二元一次不等式表示平面区域；(直线定边界、选点定区域)一般地，若Ax+By+C0,则当B0时表示直线Ax+By+C=0的上方；当B0时，表示直线Ax+By+C=0的下方.若Ax+By+C0，与上述情况相反.2.线性规划(1)约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，如果约束条件都是关于x、y的一次不等式，则约束条件又称为线性约束条件；(2)目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数.如果这个解析式是x、y的一次解析式，则目标函数又称为线性目标函数；(3)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题；(4)可行域：满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；(5)最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解.3.求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组,求最值.二、点击双基1.下列命题中正确的是（）A.点(0,0)在区域x+y≥0内B.点(0,0)在区域x+y+10内C.点(1,0)在区域y2x内D.点(0,1)在区域x-y+10内解析：将(0,0)代入x+y≥0,成立.答案：A2.在直角坐标系中，满足不等式x2-y2≥0的点(x,y)的集合所对应的阴影部分是()解析：x2-y2≥0(x+y)(x-y)≥00,0yxyx或.0,0yxyx答案：B3.已知点P(3，-1)和Q(-1,2)在直线ax+2y-1=0两侧，则实数a的取值范围是()A.1a3B.a1或a3C.a1D.a3解析：由［3a+2×(-1)-1］［-a+2×2-1］0，得a1或a3.答案：B4.点（-2，t）在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是__________________________.解析：（-2，t）在2x-3y+6=0的上方，则2×(-2)-3t+6＜0,解得t＞32.答案：t＞325.不等式组1234,0,0yxyx表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有______________________个.解析：(1,1),(1,2),(2,1),共3个.答案：3诱思·实例点拨【例1】求三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数.剖析：根据题意，可建立线性规划模型，把问题转化为求可行域内整点的个数.解：设三角形另两边长为x、y，则有.11,11,11xxyx(x、y为整数)作出可行域，如下图所示，因为1+2+3+…+11=66，所以可行域内的整点个数是66-21(66-6)=36(个)，即满足条件的三角形有36个.【例2】求由不等式｜x-1｜+｜y-1｜≤2表示的平面区域的面积.剖析：依据条件画出所表达的区域,再根据区域的特点求其面积.解：｜x-1｜+｜y-1｜≤2可化为4,1,1yxyx或2,1,1yxyx或2,1,1xyyx或.0,1,1yxyx其平面区域如图.∴面积S=21×4×4=8.链接·拓展若再求:①12xy;②22)2()1(yx的值域，你会做吗？答案:①（-∞,-23）∪［23,+∞);②［1，5］.【例3】甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f(x)、g(x)及任意的x≥0,当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败的风险.(1)请解释f(0)、g(0)的实际意义；(2)当f(x)=x+4,g(x)=21x+8时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能地少投入宣传费用，问此时甲、乙两公司应各投入多少宣传费用？解：(1)f(0)表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败的风险，至少投入f(0)万元的宣传费；g(0)表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险，至少要投入g(0)万元的宣传费.(2)将甲公司投入的宣传费用用x来表示，乙公司投入的宣传费用用y来表示，依题意，当y≥f(x)=x+4时，乙公司无失败的风险.当x≥g(y)=21y+8时，甲公司无失败的风险,即.0,0,821,4yxyxxy如图所示，阴影部分区域表示甲、乙两公司均无失败的风险.由.821,4yxxy解得x=20,y=24.故在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少投入20万元，乙公司至少投入24万元.