2008届高三数学随堂测试(18)化归与转化思想

2008届高三数学随堂测试（18）化归与转化思想(时量:120分钟150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个四面体所有棱长都是2，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为A．3πB．4πC．33πD．6π2．已知函数)()(xgyxfy与函数图象如下图则函数)()(xgxfy图象可能是3．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝A．0B．1C．52D．54．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为π2，则球心O到平面ABC的距离为A．13B．33C．23D．635．已知两条直线l1:y＝x，l2:ax–y＝0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0，2)内变动时，a的取值范围是A．(0，1)B．(33，3)C．(33，1)∪(1，3)D．(1，3)6．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若SnTn＝4n3n+5，则nnnbalim的值为A．34B．1C．63D．497．某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是A．4124A12B．4124C112C．4124C12D．441212A18．(2005年湖北高考题)在xyxyxyyx2cos,,log,222这四个函数中，当1021xx时，使2)()()2(2121xfxfxxf恒成立的函数的个数是A．0B．1C．2D．39．(2005年辽宁高考题)在R上定义运算).1(:yxyx若不等式1)()(axax对任意实数x成立，则A．－1a1B．0a2C．－12a32D．－32a1210．(2007年上海高考题)用n个不同的实数a1，a2，…，an可得n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵．对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi＝－ai1＋2ai2－3ai3＋…＋(－1)nnain，i＝1，2，3，…，n!．用1，2，3可得数阵如右，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1＋b2＋┄＋b6＝－12＋212－312＝－24．那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1＋b2＋┄＋b120等于A．－3600B．1800C．－1080D．－720答题卡题号12345678910答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n19，n∈N＊)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，b9＝1，则有等式成立．12．如图，正三棱锥P－ABC中，各条棱的长都是2，E是侧棱PC的中点，D是侧棱PB上任一点，则△ADE的最小周长为。13．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的编号是(写出所有正确结论的序号编号)．14．一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为．15．.,,是平面nm外两条直线，给出四个论断：①nm②m③n④以其中三个论断为条件，余下论断为结论，写出所有正确的命题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知x∈R，a为常数，且)(1)(1)(xfxfaxf，问)(xf是不是周期函数？若是，求出周期，若不是，说明理由．17．（本小题满分12分）已知数列na(Nn)是首项为1a，公比为q的等比数列．⑴求和：012012312223213232343,aCaCaCaCaCaCaC；⑵由⑴的结果归纳出关于正整数n的一个结论，并加以证明．18．（本小题满分14分）已知关于x的方程：012223aaxaxx有且仅有一个实根，求实数a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知：121,0niaaaa)2,1(ni求证：222211212231112nnnnnaaaaaaaaaaaa20．（本小题满分14分）,(0,),sincsccos(),.tan22,tan().a已知且当取最大值时求值21．（本小题满分14分）某商店进货每件50元，据市场调查，销售价格(每件x元)在50≤x≤80时，每天售出的件数P＝105(x－40)2。若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？化归与转化思想参考答案一、选择题题号12345678910答案AACBCADBCC1．分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为2，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为R＝32，∴S球＝3π，应选A．2．分析:要根据)()(xgyxfy与的函数图象准确地画出)()(xgyxfy与的图象是困难的，但我们注意到)()(xgxf与一奇一偶，所以)()(xgxfy是奇函数排除B，但在)(0xgx处无意义，又排除C、D，应选A．5．解析：分析直线l2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解。答案：C6．解析：化和的比为项的比∵nnnnnbnTanaanS)12(;)12(2)12(1212112．∴26485)12(3)12(41212nnnnTSbannnn，取极限易得．答案：A7．解析：转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率．答案：D二、填空题11．nnnnbbbbbbbb171212112．3＋714．1015．①②③④，②③④①11．分析：等差数列{an}中，a10＝0，必有0210119182191aaaaaaannnn，019111021nnnaaaaa，故有nnnnaaaaaaaa2119121类比等比数列nb，因为1,1291081621719bbbbbbbbnnnn1179821nnnbbbbb，故nnnnbbbbbbbb1712121成立．12．222[]:,,3,1,:23,2.,..,.2,2,1,120,21221cos1207,7,37.AEPABPBCADEAEADDEAEDPAPEAPEAEAEAED分析把空间问题化归成平面问题是立体几何中化归思想最重要的内容有这种思想作指导结合图形如图由于是定长故只要把侧面展平那么当三点共线时的长即的最小值在图的中故依余弦定理有所以于是得的最小周长为14．解析：9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程C35＝10种答案：1015．分析：本题要求学生对线线关系，面面关系，以及线面关系的判定及其性质理解透彻，重点考查学生对信息分析、重组判断能力，正确命题有①②③④，②③④①三、解答题16．分析：由)(1)(1)(xfxfaxf联想到xxxtan1tan1)4tan(，找到一个具体函数，)(xf＝4tanax及，而函数aTxy4tan的周期猜想)(xf是一个周期为a4的函数．这样方向明，思路清．证明：)(1)(1)(1])[(,)(1)(1)(xfaxfaxfaaxfxfxfaxf，aTxfxfaxfaaxfaxf4)(),()2(1]2)2[()4(的周期．17．分析：⑴0122212223211112(1)aCaCaCaaqaqaq（2n）同理可得：012313232343aCaCaCaC＝31)1(qa)3(n猜想：01212311(1)(1)nnnnnnnnaCaCaCaCaq证明：0121231(1)nnnnnnnaCaCaCaC＝01111(1)nnnnnnaCaqCaqC＝012211[(1)](1)nnnnnnnnaCqCqCqCaq18．分析：显然，题目中的x是主元，a为辅元，但方程中x的最高次数为3，求根比较困难，注意到a的最高次数为2，故可视a为主元，原方程转化为关于a的二次方程．解：原方程可代为,11,01)2(2322xxaxaxaxxa或解得即0112axxax或，∵原方程有唯一实根，012axx无实根，∴△0，即a34．19．证明：构造对偶式：令1212132222121aaaaaaaaaaaaAnnnnn1211232232122aaaaaaaaaaaaBnnnn则12121221322322212221aaaaaaaaaaaaaaaaBAnnnnnn＝BAaaaaaaaannn,0)()()()(113221又)(2122jijijiaaaaaa（)2,1,nji12121221322322212221)(21)(21aaaaaaaaaaaaaaaaBAAnnnnnn21)()()()(41113221aaaaaaaannn20．22[](1)tan();(2)tan.(3)tan().sinsincsccos().cos(),()sinsinsincos()()sincoscossinsin.()tansincossintan(tan),ta分析我们不妨将解题目标分解为求出用的三角式表示求的值最后求解割化弦即分式化整式用和角公式于是产生解得222222sincossincosn(1)1sin2sincostantan2().2tan1422tan1222tan1,tan,tan,:24的代换用二元均值不等式求最大值当即时取得最大值此时22242224tantantan()2.1tantan1．21．分析：设销售价格每件x元(50≤x≤80)，每天获利润y元，则y＝(x－50)P＝105(x－50)(x－40)2(50≤x≤80)问题转化为考虑u＝x－50(x－40)2(50≤x≤80)的最大值即可．222222:501101011(40)40(40)(40)4040111,.60[50,80),,402(10)2060,2500.:50(40)50(40)(40)100,(40)(40xuuxxxxxxxuxxuuxxuxxxx方法一这是一个关于的二次函数当即时取得最大值故每件定价为元时利润最大为元方法二由得化为将其转化为关于2222100(40)[(50)10]5050501).,1400,401,60().4050:,(40)50111(50)(40)(50)2010050,60[50,80),,.50xxxxxuuuxxuxxuxxxxxuyx的二次方程因为方程有解所以解得故最大值为此时元方法三将进行变形利用平均值不等式当且仅当即时有最大值即取最大值