2008年7月全国自考复变函数与积分变换的试卷及答案

月复变函数与积分变换真题课程代码：02199一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设z=i11，则z为（）A．21iB．21iC．21iD．21i2．下列集合为有界闭区域的是（）A．0arg(z+3)≤2B．Re(z-i)1C．1≤Imz≤2D．1≤iz≤43．Ln(-4+3i)的主值是（）A．ln5+i(-π-arctg34)B．ln5+i(π-arctg34)C．ln5+i(-π-arctg43)D．ln5+i(π-arctg43)4．正弦函数sinz=（）A．ieeiziz2B．2izizeeC．ieeiziz2D．2izizee5．复积分iizdze0的值是（）A．-（1-e-1）iB．e-1iC．（1-e-1）iD．-e-1i6．复积分21izzizedz的值是（）A．eiB．e-iC．2πieiD．2πie-i．z=0是函数2zcos1z的（）A．本性奇点B．可去奇点C．一阶极点D．二阶极点8．Res1,ctgz=（）A．-1B．1C．-2iD．2i9．3z把Z平面上区域0θπ映射成W平面上的区域（）A．-3π0B．-30C．03D．03π10．函数f(t)=2122te的傅氏变换)(tf为（）A．2eB．22eC．22eD．2e二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.复数1-3i的三角表达式是_________________.12.tgz的所有零点为_________________.13．13cosizzzdze=______________.14．幂级数12nnnnz的收敛半径是____________.15．设nzzfnnn2)1()(0，则)0()10(f=___________.16．分式线性映射iziz11把上半平面Imz0映射成___________.页三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本题6分）用cos与sin表示5cos．18．（本题6分）已知z≠时22yxyx为调和函数，求解析函数iuzf)(的导数)(zf，并将它表示成z的函数形式．19．（本题6分）计算积分I=dzixyxc)(2，其中C为从0到1+i的直线段．20．（本题6分）将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．21．（本题7分）函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？22．（本题7分）计算积分I=dzzzc)1()1(122，其中C为正向圆周x2+y2-2x=0.23．（本题7分）利用留数计算积分I=czdzze22)1(，其中C为正向圆周z=2．24．（本题7分）将函数)1(1)(2zzzzf在圆环域0z1内展开为罗朗级数．四、综合题（下列３个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，若两题全做，以26题计分。每小题8分，共16分）25．（1）求1)(242zzzzf在上半平面内的所有孤立奇点．（2）求)(zf在以上各孤立奇点的留数．（3）利用以上结果计算积分I=dxxxx1242．26．设Z平面上区域D：z2且iz1．试求以下保角映射:（1）)(11zf把D映射成W1平面上的带形域D1：41Imω121;（2）)(122f把D1映射成W2平面上的带形域D2：0Imω2π;（3）)(23f把D2映射成W平面上的区域D3：Imω0;（4）综合以上三步，求保角映射)(zf把D映射成Imω0.（1）求sint的拉氏变换（sint）；（2）设F（p）=)(ty，其中函数)(ty可导，且1)0(y,求)(ty.（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：1)0(sinytyy页