2008年全国初中数学竞赛[四川赛区]初赛试题及参考答案

2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷(3月21日下午2：30━4：30或3月22日上午9：00━11：00)学校___________________年级___________班姓名_________________题号一二三四五合计得分评卷人复核人一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、若121x，则式子1449612222xxxxxx等于（）（A）－4x＋3（B）5（C）2x＋3（D）4x＋32、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x、y、z，则zyx111的值为（）（A）1（B）32（C）21（D）313、已知a为非负整数，关于x的方程0412axax至少有一个整数根，则a可能取值的个数为（）（A）4（B）3（C）2（D）14、如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝62o，则∠AEB的度数是（）（A）124o（B）122o（C）120o（D）118o5、如图，直线x＝1是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴，则有（）（A）a＋b＋c＞0（B）b＞a＋c（C）abc＜0（D）c＞2b6、已知x、y、z是三个非负实数，满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若S＝2x＋y－z，则S的最大值与最小值的和为（）（A）5（B）6（C）7（D）8二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、已知a是方程x2－5x＋1＝0的一个根，则44aa的个位数字为_____________．2、在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，若S△OAD＝4，S△OBC＝9，则凸四边形ABCD面积的最小值为__________________．3、实数x、y满足x2－2x－4y＝5，记t＝x－2y，则t的取值范围为___________________．4、如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于E，F是OE的中点．如果BD//CF，BC＝25，则线段CD的长度为__________________．三、（本大题满分20分）已知方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，方程x2＋cx＋d＝0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．四、（本大题满分25分）如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3＝90o．五、（本大题满分25分）如图，将3枚相同硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）．求所放的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷参考答案及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、B2、C3、B4、B5、D6、A二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、72、253、29t4、6三、（本大题20分）解：∵方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，∴a＋c＝－a，ac＝－b∵x2＋cx＋d＝0的根是b和d，∴b＋d＝－c，bd＝d·······································5分（一）若d≠0，则由bd＝d知b＝1由a＋c＝－a知c＝－2a，由ac＝－b知－2a2＝－1，解得22a·················10分当22a时，2c得d＝－c－b＝12；·········································（1）当22a时2c，得d＝－c－b＝12．·······································（2）经验证，22a，b＝1，2c，d＝12是符合条件的两组解．·······15分（二）若d＝0，则b＝－c，由a＋c＝－a知c＝－2a，由ac＝－b知ac＝c若c＝0，则a＝0，这与a、b、c、d是不同的实数矛盾．若c≠0，则a＝1，再由c＝－2a知c＝－2，从而b＝－c＝2经验证，a＝1，b＝2，c＝－2，d＝0也是符合条件的解．································20分四、（本大题25分）证明：（1）如图，连结I1A1，I1A2，I1A3，I2A2和I2A3∵I1是△A1A2A3的内心，∴∠I1A1A2＝∠I1A1A3＝21∠A2A1A3∠I1A2A1＝∠I1A2A3＝21∠A1A2A3，∠I1A3A1＝∠I1A3A2＝21∠A1A3A2····················5分延长A1I1交四边形A1A2A3A4外接圆于P，则∠A2I1A3＝∠A2I1P＋∠PI1A3＝∠I1A1A2＋∠I1A2A1＋∠I1A1A3＋∠I1A3A1＝21(∠A2A1A3＋∠A1A2A3＋∠A2A3A1)＋21∠A2A1A3＝90o＋21∠A2A1A3···············10分同理∠A2I2A3＝90o＋21∠A2A4A3，又∵四边形A1A2A3A4内接于一圆∴∠A2A1A3＝∠A2A4A3，∴∠A2I1A3＝∠A2I2A3．∴A2、I1、I2、A3四点共圆．········15分（2）又连结I3A4，则由（1）知A3、I2、I3、A4四点共圆∴∠I1I2A3＝180o－∠I1A2A3＝180o－21∠A1A2A3同理∠I3I2A3＝180o－∠I3A4A3＝180o－21∠A1A4A3···········································20分∴∠I1I2I3＝360o－(∠I1I2A3＋∠I3I2A3)＝21(∠A1A2A3＋∠A1A4A3)＝90o··················25分五、（本大题25分）解：1、计算总的放法数N：第一枚硬币放入16个格子有16种放法；第二枚硬币放入剩下的15个格子有15种放法；第三枚硬币放入剩下的14个格子有14种放法．所以，总的放法数N＝16×15×14＝3360．·············································10分2、计算满足题目要求的放法数m：第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与它不同行或不同列的格子有9个．因此，与第一枚硬币不同行或不同列的第二枚硬币有9种放法．与前两枚硬币不同行或不同列的格子有4个，第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法．所以，满足题目要求的放法数m＝16×9×4＝576．··································20分所求概率P＝3561415164916Nm．··················································25分