2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷

2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷(考试时间:2008年9月6日9:30~11:30)一,选择题:本大题共6小题,每小题6分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1,函数()yfx存在反函数,若函数()yfx的图象绕原点逆时针旋转90后,与函数()ygx的图象重合,则有A,1()()gxfxB,1()()gxfxC,1()()gxfxD,1()()gxfx2,在平面中,到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为A,椭圆B,双曲线的一部分C,抛物线的一部分D,矩形3,下列四个数中与cos1cos2cos2008最接近的是A,2008B,1C,1D,20084,四面体的6个二面角中至多可能有()个钝角A,3B,4C,5D,65,将12008写成十进制循环小数的形式10.000498625498625,2008其循环节的长度为A,30B,40C,50D,606,设多项式20082008012008(1)xaaxax,则012008,,,aaa中共有()个是偶数A,127B,1003C,1005D,1881二,填空题:本大题共6小题,每小题9分,共54分,将答案填在题中的横线上.7,化简多项式(1)nkmkmnknkkmCCxx8,函数35sin()54cos3sinxfxxx的值域为9,若数列{}na满足111110,(2)1nnnaaaanaa,且具有最小正周期2008,则1a10,设非负实数122008,,,aaa的和等于1,则12232007200820081aaaaaaaa的最大值为11,设点(1,1),,ABC在椭圆2234xy上,当直线BC的方程为时,ABC的面积最大.12,设平面点集{(,)|1,2,,;1,2,,}nGijinjn,易知2G可被一个三角形所覆盖,3G可被两个三角形所覆盖,如右图所示.则覆盖2008G至少需要个三角形.三,解答题:本大题共3小题,每小题20分,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13,将6个形状相同的小球(其中红色,黄色,兰色各2个)随机放入3个盒子中,每个盒子中恰好放2个小球,记为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求的概率分布列.14,设111,[](2)nnaanan,其中[]x表示不超过x的最大整数.证明:无论1a取何正整数时,不在数列{}na中的素数只有有限个.15,设1O与2O相交于,AB两点,3O分别与12,OO外切于点,,CD直线EF分别与12,OO相切于点,EF,直线CE与直线DF相交于点G.证明:,,ABG三点共线.2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷(参考答案)(考试时间:2008年9月6日9:30~11:30)一,选择题:本大题共6小题,每小题6分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1,函数()yfx存在反函数,若函数()yfx的图象绕原点顺时针旋转90后,与函数()ygx的图象重合,则有(D)A,1()()gxfxB,1()()gxfxC,1()()gxfxD,1()()gxfx2,在平面中,到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为(D)A,椭圆B,双曲线的一部分C,抛物线的一部分D,矩形3,下列四个数中与cos1cos2cos2008最接近的是(B)A,2008B,1C,1D,20084,四面体的6个二面角中至多可能有()个钝角(A)A,3B,4C,5D,65,将12008写成十进制循环小数的形式10.000498625498625,2008其循环节的长度为(C)A,30B,40C,50D,606,设多项式20082008012008(1)xaaxax,则012008,,,aaa中共有()个是偶数(D)A,127B,1003C,1005D,1881二,填空题:本大题共6小题,每小题9分,共54分,将答案填在题中的横线上.7,化简多项式(1)nkmkmnknkkmCCxxmnC8,函数35sin()54cos3sinxfxxx的值域为4(10,10]59,若数列{}na满足111110,(2)1nnnaaaanaa,且具有最小正周期2008,则1atan,2008k正整数1003k且与2008互素.10,设非负实数122008,,,aaa的和等于1,则12232007200820081aaaaaaaa的最大值为1411,设点(1,1),,ABC在椭圆2234xy上,当直线BC的方程为320xy时,ABC的面积最大.12,设平面点集{(,)|1,2,,;1,2,,}nGijinjn,易知2G可被一个三角形所覆盖,3G可被两个三角形所覆盖,如右图所示.则覆盖2008G至少需要1338个三角形.三,解答题:本大题共3小题,每小题20分,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13,将6个形状相同的小球(其中红色,黄色,兰色各2个)随机放入3个盒子中,每个盒子中恰好放2个小球,记为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求的概率分布列.【解:】的取值可以为0,1,3……………………………………………2分(3)PP(盒(1)中求同色,盒(2)中球同色)1115315…………………………………………6分(1)3(PP盒(1)中球同色,盒(2)中球异色)1123(1)535…………………………………6分8(0)1(3)(1)15PPP…………………………………6分14,设111,[](2)nnaanan,其中[]x表示不超过x的最大整数.证明:无论1a取何正整数时,不在数列{}na中的素数只有有限个.【解】:121321,[2]1,[3]1aaaaa…………………………………2分当4n时,用数学归纳法得1[](3)2nnanannn.…………………………………5分令nnban,则有1112[(1)][]2nnnbbnnb…………………………………5分当11nb时,[(2)]1nbnnn…………………………………5分故当n充分大时,2nb,所以不在数列{}na中的正整数只有有限多个.…………………………3分15,设1O与2O相交于,AB两点,3O分别与12,OO外切于点,,CD直线EF分别与12,OO相切于点,EF,直线CE与直线DF相交于点G.证明:,,ABG三点共线.【证明:】以EF为x轴,1OE为y轴,建立平面直角坐标系.设(0,0),(,0)EFc…………………1分222111:()Oxyrr………………………………1分222222:()()Oxcyrr…………………………………1分22233:()()Oxaybr…………………………………1分其中,ab满足222113222223()()(1)()()()(2)abrrracbrrr…………………………………2分于是,221:22()0ABcxrryc…………………………………2分31131131313(0,)(,)(,):rrrarbrabCrrrrrr…………………………………2分322322232323(0,)(,)(,):rrrarcrbrabDrrrrrr…………………………………2分3:()0CErbxay…………………………………2分3:()()()0DFrbxcacy…………………………………2分3:(,)Garb…………………………………2分由(1)(2),知点G的坐标满足直线AB的方程.………………………………2分注:对于几何证法,如果无法列举所有情形,得分减半.