2008年江苏专转本高等数学真题

2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、设函数)(xf在),(上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A、)(xfyB、)(43xfxyC、)(xfyD、)()(xfxfy2、设函数)(xf可导，则下列式子中正确的是（）A、)0()()0(lim'0fxxffxB、)()()2(lim0'00xfxxfxxfxC、)()()(lim0'000xfxxxfxxfxD、)(2)()(lim0'000xfxxxfxxfx3、设函数)(xf122sinxdttt，则)('xf等于（）A、xx2sin42B、xx2sin82C、xx2sin42D、xx2sin824、设向量)3,2,1(a，)4,2,3(b，则ba等于（）A、（2，5，4）B、（2，－5，－4）C、（2，5，－4）D、（－2，－5，4）5、函数xyzln在点（2，2）处的全微分dz为（）A、dydx2121B、dydx2121C、dydx2121D、dydx21216、微分方程123'''yyy的通解为（）A、1221xxececyB、21221xxececyC、1221xxececyD、21221xxececy二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数)1(1)(2xxxxf，则其第一类间断点为.8、设函数)(xf,0,3tan,0,xxxxxa在点0x处连续，则a＝.9、已知曲线543223xxxy，则其拐点为.10、设函数)(xf的导数为xcos，且21)0(f，则不定积分dxxf)(＝.11、定积分dxxx1121sin2的值为.12、幂函数12nnnnx的收敛域为.三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：xxxx3)2(lim14、设函数)(xyy由参数方程Znnttyttx,2,cos1,sin所决定，求22,dxyddxdy15、求不定积分：dxxx13.16、求定积分：10dxex.17、设平面经过点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，5），求经过点P（1，2，1）且与平面垂直的直线方程.18、设函数),(xyyxfz，其中)(xf具有二阶连续偏导数，求yxz2.19、计算二重积分Ddxdyx2，其中D是由曲线xy1，直线2,xxy及0y所围成的平面区域.20、求微分方程2'2xyxy的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、求曲线)0(1xxy的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.22、设平面图形由曲线2xy，22xy与直线1x所围成.（1）求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.（2）求常数a，使直线ax将该平面图形分成面积相等的两部分.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设函数)(xf在闭区间a2,0)0(a上连续，且)()2()0(afaff，证明：在开区间),0(a上至少存在一点，使得)()(aff.24、对任意实数x，证明不等式：1)1(xex.2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、A3、D4、C5、A6、B7、08、39、（2，17）10、cxx21cos11、12、2,213、6233)21(lim)21(lim)2(limxxxxxxxxxx，令2xy，那么6631)11(lim)2(limeyxxyxxx.14、.sin)(cos)(cos1)(sin)(ttxttyttxtty‘’‘’’‘，，，.)cos1(1)()()()()(cos1sin)()(2322ttxtxtytxtydxydtttxtydxdy‘’‘，，，，，’，15、Cxdxxxdxxxddxxxdxxx1ln)1(1)1(111233.1ln2323Cxxxx16、1010211021211021211022110)(222)(212121212121dxeexdeedxxexdedxexxxxxx＝.222222221010212121eeeedxeexx17、由题意得：，，，－)032(AB)5,0,2(AC，那么法向量为).6,10,15(032250225003，－－，－ACABn18、.221，‘fxyfxz)1(212221212112‘’‘’，，，，－＋fxfxyffyxz''223''212'22''12''1111fxyfxyfxfxf－＝19、1002110222xxDdyxdxdyxdxdxdyx1021212104347234124xxxdxdxx20、积分因子为.1)(2ln22xeexxdxx化简原方程22xyxy，为.2xxydxdy在方程两边同乘以积分因子21x，得到.1232xxydxxdy化简得：.1)(2xdxyxd等式两边积分得到通解.1)(2dxxdxyxd故通解为Cxxxy22ln21、令yxyxF1),(，那么x和y的偏导分别为20001),(xyxFx，.1),(00yxFy所以过曲线上任一点),(00yx的切线方程为：.010200yyxxx当X＝0时，y轴上的截距为001yxy.当y＝o时，x轴上的截距为.0020xyxx令002000001),(xyxyxyxF，那么即是求),(00yxF的最小值.而4)1(211),(00000000xxxxxxyxF，故当100yx时，取到最小值4.22、（1）10105445353)4(xdxxxV.（2）由题意得到等式：122022)2()2(aadxxxdxxx化简得：aadxxdxx0122.解出a，得到：213a，故.2131a23、令)()()(xfaxfxg，那么)()2()(afafag，).0()()0(fafg由于0)0()(gag，并且)(xg在a，0上连续.故存在)0(a，，使得0)(g，即)()(aff.24、将xe用泰勒公式展开得到：2!21!111xxex代入不等式左边：131211)!21!111)(1()1(322xxxxxexx