从Malthus模型到浑沌

从Malthus模型到浑沌数学实验巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起—洛伦兹数学的伟大使命在于从混沌中发现秩序。—倍尔在那个混沌的体制中，结构上的微小差异几乎都会造成行为方式上的巨大变化，可控制的行为似乎已被排除。—斯图尔特.考夫曼明年在得克萨斯的大风暴吗？●函数的迭代，不动点和有关的作图●介绍浑沌，用数值迭代、蛛网迭代和密度●浑沌的倍周期分叉、遍历性和某些●计算机与科学研究(即使是数学)分布等方法来研究浑沌普适结构实验将告诉我们什么？问题的提出出现在各个领域的一种现象:数学、物理、由此引起的复杂而有趣的现象“侏罗纪公园”中的恐龙重现●我们的讨论●什么是浑沌?生物、金融、经济、管理等等：宇宙的起源龙卷风的产生、厄尔尼诺现象东南亚金融危机爆发从某些简单的离散的数学模型开始,进而讨论数学模型●Malthus模型口数成正比,从而xn+1＝xn＋rxnxn+1=axn其中a=r+1.设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人即是记g(x)=ax，则是函数迭代xn=axn－1=a2xn－2=…=anx0于是Malthus的结论：人口增长呈几何级数约35年增加一倍，与1700－1961年世界人口与近年统计结果有误差，由a1,xn趋向无穷，xn＋1＝g(xn)容易得到统计结果一致模型在人口长期预测方面必定是失效的..●Logistic模型生存资源是重要的因素，修改模型为：xn+1－xn=rxn－bxn2－bxn2为竞争(约束)项，r、b称生命系数,则xn+1=axn-bxn2，（a=r+1）这是一个如下非线性映射的迭代f1(x)=ax-bx2数据观察（利用Mathematica）In[1]:=a=1.029;b=1.48654*10^(-11);f1[x_]:=a*x-bx^2;For[n=1979;x[1979]=9.7542*10^8,n=2002,n++,x[n+1]=f1[x[n]];Print[n+1,“”，x[n+1]/10^8]]与统计数字接近19809.89564198110.037198210.1784198310.3195198410.4605198510.6012198610.7416198710.8815198811.0211198911.1601199011.2986199111.4365199211.5738199311.7103199411.8460199511.9809199612.1150199712.2482199812.3803199912.5115200012.6417200112.7701200212.8986200313.0245了解混沌●Logistic映射(Robert.May的研究）f(x)=ax(1-x)，x在[0,1]内变化xn+1=f(xn)从[0,1]内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成xn=fn(x0),n=0,1,2,…序列{xn}称为x0的轨道种群数的模型简化：相应的迭代为了一个序列，即●数值迭代（a逐渐增加，迭代会有何结果）1．倍周期分叉现象■当0a1时，由于0xnaxn+1■当1a3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于两个不动点x1*,x2*,一个稳定(吸引),另一个xn→0物种逐渐灭亡x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f的不动点（周期1点)例：a=1.5时xn→1/3.不稳定，轨道{xn}趋向稳定点这两个数满足■当3a1+61/2时，xn绕着两个数x3*，x4*振动,x2k-1→0.799455x2k→o.513045■当1+61/2a3.5440903506…时,从任意的点x0出x4k→0.44391661x4k+1→0.84768002x4k+2→0.44596756x4k+3→0.85242774也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期)(),(2xfxxfx例a=3.2点失稳)发的轨道将逐渐沿着四个数值振动例a=3.45这四个数满足),(),(),(),(324xfxxfxxfxxfx称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定分叉值如何求?又失稳)周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依次出现周期16点，周期32点….，(请考虑什么是周期n)这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值c1=3,c2=1+61/2…构成一个单调增加的数列{ck}.其极限值为c*=3.569945557391…。任务：求分叉值和画分叉图依赖于数值方法2．浑沌的特点当c*a4时，Logistic映射进入混沌区域.反映出■遍历性：点x0的轨道不趋向任何稳定的周期性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的的是：轨道,它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何一个子区间(a,b)内都会出现无数次.■敏感性：轨道表现出对初始条件的强烈敏感轨道也终将以某种方式分离.■Feigenbaum常数任务：验证遍历性、敏感性(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趋于无穷时，趋于常数q=4.6692016这常数的意义在于普适性，例如周期3窗口，还有周期3窗口的分叉、(结合Feigenbaum常数)■存在周期小窗口混沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如a＝3.835附近其他映射任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代图象方法●蛛网迭代在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作抛物线弧：xn+1＝axn(1-xn)的数值序列{xn},从而也通过图象直观地看出由x0出发的轨道的变化.这作图的过程颇象蜘蛛织网,故称为蛛网迭代.11xnxn＋1x0x1x1x2■1a3从(0,1)中任何初值出发的轨道趋向不动点(周期1点)■3a61/2+1从任何初值出发的轨道趋向周期2点■61/2+1a3.54409035从任何初值出发的轨道趋向周期4点■a=3.58轨道进入浑沌状态■a=4轨道的浑沌性表现充分蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节●密度分布图■密度从一个初始点x0出发，由迭代所产生的序列{xn}(n一般很大)在区间[0,1]上的概率分布密度.■具体算法将[0,1]区间分成m个长度为h=1/m的小区间，序列{xn}nN=0落在各个小区间[ih,(i+1)h]的个数为ki,则该序列落在各小区间的概率（即密度)为pi=ki/Ni=0,1,2,…,m■密度图横轴为区间[0,1],纵轴为概率p.每个小区间上的细柱线的高度等于该区间上密度■a=3.2(m=100N=10000x0=0.1)(这是周期2情况)■a=3.45(这是周期4情况)■a=3.55(周期8的情况)以上密度图显示在0ac*的情况下,{xn}只有极少数落在周期点以外的小区间,而最终以几乎相等的概率落在周期点所在的小区间。■a=3.6(进入浑沌区)(最浑沌状态)■a=4任务：用蛛网迭代的方法在计算机上作图,考察Logstic映射在a逐步变化时由同一点出发的轨道情况.任务：用密度图的方法在计算机上作图,考察Logstic映射在a逐步变化时由同一初值点出发的{xn}的分布.考察映射]1,0[),sin()(xxf进一步的任务●试考察当a逐渐增大时,有没有倍周期分叉情况出现?求出第一个分叉值和第二个分叉值利用Feigenbaum常数估计第三个分叉值和浑沌可能在何时出现验证第三个分叉值●作出分叉图与Logistic映射的分叉图比较●作出蛛网迭代或密度分布图然后由1/2开始慢慢地增加其值,用数值方法和用密度图的方法考察由初始值出发的轨道，能否看到倍周期分叉的情况?●考察帐篷映射]1,0()2121(1nnxx)21,0(先取