求N!的高精度算法

求N!的高精度算法本文中的算法主要针对Pascal语言这篇文章的内容你了解高精度吗？你曾经使用过哪些数据结构？你仔细思考过如何优化算法吗？在这里，你将看到怎样成倍提速求N!的高精度算法关于高精度Pascal中的标准整数类型高精度算法的基本思想Pascal中的标准整数类型数据类型值域Shortint-128～127Byte0～255Integer-32768～32767Word0～65535Longint-2147483648～2147483647Comp-9.2e18～9.2e18Comp虽然属于实型，实际上是一个64位的整数高精度算法的基本思想Pascal中的标准整数类型最多只能处理在-263～263之间的整数。如果要支持更大的整数运算，就需要使用高精度高精度算法的基本思想，就是将无法直接处理的大整数，分割成若干可以直接处理的小整数段，把对大整数的处理转化为对这些小整数段的处理Back数据结构的选择每个小整数段保留尽量多的位使用Comp类型采用二进制表示法每个小整数段保留尽量多的位一个例子：计算两个15位数的和方法一•分为15个小整数段，每段都是1位数，需要15次1位数加法方法二•分为5个小整数段，每段都是3位数，需要5次3位数加法方法三•Comp类型可以直接处理15位的整数，故1次加法就可以了比较•用Integer计算1位数的加法和3位数的加法是一样快的•故方法二比方法一效率高•虽然对Comp的操作要比Integer慢，但加法次数却大大减少•实践证明，方法三比方法二更快使用Comp类型高精度运算中，每个小整数段可以用Comp类型表示Comp有效数位为19～20位求两个高精度数的和，每个整数段可以保留17位求高精度数与不超过m位整数的积，每个整数段可以保留18–m位求两个高精度数的积，每个整数段可以保留9位如果每个小整数段保留k位十进制数，实际上可以认为其只保存了1位10k进制数，简称为高进制数，称1位高进制数为单精度数采用二进制表示法采用二进制表示，运算过程中时空效率都会有所提高，但题目一般需要以十进制输出结果，所以还要一个很耗时的进制转换过程。因此这种方法竞赛中一般不采用，也不在本文讨论之列Back算法的优化高精度乘法的复杂度分析连乘的复杂度分析设置缓存分解质因数求阶乘二分法求乘幂分解质因数后的调整高精度乘法的复杂度分析计算n位高进制数与m位高进制数的积需要n*m次乘法积可能是n+m–1或n+m位高进制数Back连乘的复杂度分析（1）一个例子：计算5*6*7*8方法一：顺序连乘•5*6=30，1*1=1次乘法•30*7=210，2*1=2次乘法•210*8=1680，3*1=3次乘法方法二：非顺序连乘•5*6=30，1*1=1次乘法•7*8=56，1*1=1次乘法•30*56=1680，2*2=4次乘法共6次乘法共6次乘法特点：n位数*m位数=n+m位数连乘的复杂度分析（2）若“n位数*m位数=n+m位数”，则n个单精度数，无论以何种顺序相乘，乘法次数一定为n(n-1)/2次证明：•设F(n)表示乘法次数，则F(1)=0，满足题设•设kn时，F(k)=k(k-1)/2，现在计算F(n)•设最后一次乘法计算为“k位数*(n-k)位数”，则•F(n)=F(k)+F(n-k)+k(n-k)=n(n-1)/2（与k的选择无关）Back设置缓存（1）一个例子：计算9*8*3*2方法一：顺序连乘•9*8=72，1*1=1次乘法•72*3=216，2*1=2次乘法•216*2=432，3*1=3次乘法方法二：非顺序连乘•9*8=72，1*1=1次乘法•3*2=6，1*1=1次乘法•72*6=432，2*1=2次乘法特点：n位数*m位数可能是n+m-1位数共6次乘法共4次乘法设置缓存（2）考虑k+t个单精度数相乘a1*a2*…*ak*ak+1*…*ak+t设a1*a2*…*ak结果为m位高进制数（假设已经算出）ak+1*…*ak+t结果为1位高进制数若顺序相乘，需要t次“m位数*1位数”，共mt次乘法可以先计算ak+1*…*ak+t，再一起乘，只需要m+t次乘法在设置了缓存的前提下，计算m个单精度数的积，如果结果为n位数，则乘法次数约为n(n–1)/2次，与m关系不大–设S=a1a2…am，S是n位高进制数–可以把乘法的过程近似看做，先将这m个数分为n组，每组的积仍然是一个单精度数，最后计算后面这n个数的积。时间主要集中在求最后n个数的积上，这时基本上满足“n位数*m位数=n+m位数”，故乘法次数可近似的看做n(n-1)/2次设置缓存（3）缓存的大小设所选标准数据类型最大可以直接处理t位十进制数设缓存为k位十进制数，每个小整数段保存t–k位十进制数设最后结果为n位十进制数，则乘法次数约为k/(n–k)∑(i=1..n/k)i=(n+k)n/(2k(t–k))，其中k远小于n要乘法次数最少，只需k(t–k)最大，这时k=t/2因此，缓存的大小与每个小整数段大小一样时，效率最高故在一般的连乘运算中，可以用Comp作为基本整数类型，每个小整数段为9位十进制数，缓存也是9位十进制数Back分解质因数求阶乘例：10!=28*34*52*7n!分解质因数的复杂度远小于nlogn，可以忽略不计与普通算法相比，分解质因数后，虽然因子个数m变多了，但结果的位数n没有变，只要使用了缓存，乘法次数还是约为n(n-1)/2次因此，分解质因数不会变慢（这也可以通过实践来说明）分解质因数之后，出现了大量求乘幂的运算，我们可以优化求乘幂的算法。这样，分解质因数的好处就体现出来了Back二分法求乘幂二分法求乘幂，即：a2n+1=a2n*aa2n=(an)2其中，a是单精度数复杂度分析假定n位数与m位数的积是n+m位数设用二分法计算an需要F(n)次乘法F(2n)=F(n)+n2，F(1)=0设n=2k，则有F(n)=F(2k)=∑(i=0..k–1)4i=(4k–1)/3=(n2–1)/3与连乘的比较用连乘需要n(n-1)/2次乘法，二分法需要(n2–1)/3连乘比二分法耗时仅多50%采用二分法，复杂度没有从n2降到nlogn二分法求乘幂之优化平方算法怎样优化(a+b)2=a2+2ab+b2例：123452=1232*10000+452+2*123*45*100把一个n位数分为一个t位数和一个n-t位数，再求平方怎样分设求n位数的平方需要F(n)次乘法F(n)=F(t)+F(n-t)+t(n-t)，F(1)=1用数学归纳法，可证明F(n)恒等于n(n+1)/2所以，无论怎样分，效率都是一样将n位数分为一个1位数和n–1位数，这样处理比较方便二分法求乘幂之复杂度分析复杂度分析前面已经求出F(n)=n(n+1)/2，下面换一个角度来处理S2=(∑(0≤in)ai10i)2=∑(0≤in)ai2102i+2∑(0≤ijn)aiaj10i+j一共做了n+C(n,2)=n(n+1)/2次乘法运算普通算法需要n2次乘法，比改进后的慢1倍改进求乘幂的算法如果在用改进后的方法求平方，则用二分法求乘幂，需要(n+4)(n–1)/6次乘法，约是连乘算法n(n–1)/2的三分之一Back分解质因数后的调整（1）为什么要调整计算S=211310，可以先算211，再算310，最后求它们的积也可以根据S=211310=610*2，先算610，再乘以2即可两种算法的效率是不同的分解质因数后的调整（2）什么时候调整计算S=ax+kbx=(ab)xak当kxlogab时，采用(ab)xak比较好，否则采用ax+kbx更快证明：•可以先计算两种算法的乘法次数，再解不等式，就可以得到结论•也可以换一个角度来分析。其实，两种算法主要差别在最后一步求积上。由于两种方法，积的位数都是一样的，所以两个因数的差越大，乘法次数就越小•∴当axbx–akax+k–bx时，选用(ab)xak，反之，则采用ax+kbx。•∴axbx–akax+k–bx•∴(bx–ak)(ax+1)0•∴bxak•这时kxlogabBack总结内容小结用Comp作为每个小整数段的基本整数类型采用二进制优化算法高精度连乘时缓存和缓存的设置改进的求平方算法二分法求乘幂分解质因数法求阶乘以及分解质因数后的调整应用高精度求乘幂（平方）高精度求连乘（阶乘）高精度求排列组合结束语求N!的高精度算法本身并不难，但我们仍然可以从多种角度对它进行优化。其实，很多经典算法都有优化的余地。我们自己编写的一些程序也不例外。只要用心去优化，说不准你就想出更好的算法来了。也许你认为本文中的优化毫无价值。确实是这样，竞赛中对高精度的要求很低，根本不需要优化。而我以高精度算法为例，不过想谈谈如何优化一个算法。我想说明的只有一点：算法是可以优化的。