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《通信原理》第四十讲§7．2二进制数字调制系统的抗噪声性能分析二进制数字调制系统的抗噪声性能，也就是分析在信道等效加性高斯白噪声的干扰下系统的误码性能，得出误码率与信噪比之间的数学关系。在二进制数字调制系统抗噪声性能分析中，假设信道特性是恒参信道，在信号的频带范围内其具有理想矩形的传输特性(可取传输系数为K)。噪声为等效加性高斯白噪声，其均值为零，方差为2σ。一、二进制振幅键控(2ASK)系统的抗噪声性能a)同步检测法的系统性能带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出tcωcos2发送端信道)(tsT)(tni)(tyi)(ty)(txeP图7-222ASK信号同步检测法的系统性能分析模型在一个码元的时间间隔内，发送端输出的信号波形为sT)(tsT⎩⎨⎧=”符号发送“，”符号发送“001),()(tutsTT(7.2-1)其中⎩⎨⎧=tTttAtuScT其它，00,cos)(ω(7.2-2)式中cω为载波角频率，为码元时间间隔。在时间间隔，接收端带通滤波器输入合成波形为sT),0(sT)(tyi7-1⎩⎨⎧+=”符号发送“，”符号发送“0)(1),()()(tntntutyiiii(7.2-3)式中⎩⎨⎧=tTttAKtuSci其它，00,cos)(ω(7.2-4)⎩⎨⎧=tTttaSc其它，00,cosω为发送信号经信道传输后的输出。为加性高斯白噪声，其均值为零，方差为。)(tni2σ设接收端带通滤波器具有理想矩形传输特性，带通滤波器的输出波形为)(ty(7.2-5)⎩⎨⎧+=”符号发送“，”符号发送“0)(1),()()(tntntutyi)(tn为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为，且可表示为2nσttnttntncsccωωsin)(cos)()(−=(7.2-6)⎩⎨⎧−−+=ttnttnttnttntatycscccscccωωωωωsin)(cos)(sin)(cos)(cos)(⎩⎨⎧−−+=”符号发送“，”符号发送“0sin)(cos)(1,sin)(cos)]([ttnttnttnttnacscccsccωωωω(7.2-7)与相干载波tcωcos2相乘后的波形为)(tzttytzcωcos)(2)(=⎩⎨⎧−−+=tttnttntttnttnaccsccccsccωωωωωωcossin)(2cos)(2cossin)(2cos)]([222⎩⎨⎧−+−+++=”符号发送“”符号发送“0,2sin)(2cos)()(1,2sin)(2cos)]([)]([ttnttntnttnttnatnacsccccscccωωωω(7.2-8)理想低通滤波器的输出波形为)(tx⎩⎨⎧+=”符号发送“”符号发送“0),(1),()(tntnatxcc(7.2-9)7-2式中，为信号成分，为低通型高斯噪声，其均值为零，方差为。a)(tnc2nσ设对第个符号的抽样时刻为，则在时刻的抽样值kskT)(txskTx为⎩⎨⎧+=⎩⎨⎧+=发送“”符号”符号发送“,1,)()(ccscscnnakTnkTnax(7.2-10)式中，是均值为零，方差为的高斯随机变量。发送“1”符号时的抽样值的一维概率密度函数为cn2nσcnax+=)(1xf⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−=2212)(exp21)(nnaxxfσσπ(7.2-11)发送“0”符号时的抽样值的一维概率密度函数为cnx=)(0xf⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=2202exp21)(nnxxfσσπ(7.2-12)图7-23抽样值x的一维概率密度函数假设抽样判决器的判决门限为，则抽样值时判为“1”符号输出，若抽样值时判为“0”符号输出。bbxbx≤若发送的第个符号为“1”，kdxaxdxxfbxPPbnnb∫∫∞−∞−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−==≤=2212)(exp21)()()1/0(σσπ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=naberfcσ2211(7.2-13)式中()∫∞−=xdyyxerfc)exp(22π7-3同理，当发送的第个符号为“0”时，kdxxdxxfbxPPbnnb∫∫∞∞⎭⎬⎫⎩⎨⎧−===2202exp21)()()0/1(σσπ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=nberfcσ221(7.2-14))1/0()0()1/0()1(PPPPPe+=∫∫∞∞−+=bbdxxfPdxxfP)()0()()1(01(7.2-15)式(7.2-15)表明，当符号的发送概率、及概率密度函数、一定时，系统总的误码率将与判决门限有关，其几何表示如图7-24所示。)1(P)0(P)(1xf)(0xfePb图7-24同步检测时误码率的几何表示误码率等于图中阴影的面积。当判决门限取与两条曲线相交点时，阴影的面积最小。这个门限就称为最佳判决门限。ePb)()1(1xfP)()0(0xfP*b最佳判决门限也可通过求误码率关于判决门限的最小值的方法得到，令ePb0=∂∂bPe(7.2-16)可得0)()0()()1(*0*1=−bfPbfP即)()0()()1(*0*1bfPbfP=(7.2-17)7-4将式(7.2-11)和(7.2-12)代入(7.2-17)可得)1()0(ln22*PPaabnσ−=(7.2-18)当时，最佳判决门限为)0()1(PP=*b2*ab=(7.2-19)当发送二进制符号“1”和“0”等概，且判决门限取2*ab=时，对2ASK信号采用同步检测法进行解调时的误码率为eP⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=421rerfcPe(7.2-20)式中222narσ=为信噪比。当，0r41reerP−≈π(7.2-21)b)包络检波法的系统性能带通滤波器包络检波器抽样判决器定时脉冲输出发送端信道)(tsT)(tni)(tyi)(ty)(tVeP图7-25包络检波法的系统性能分析模型⎩⎨⎧+=)()()()(tntntutyiii⎩⎨⎧−−+=”符号发送“，”符号发送“0sin)(cos)(1,sin)(cos)]([ttnttnttnttnacscccsccωωωω⎪⎩⎪⎨⎧+++++=”符号发送“，”符号发送“0)](cos[)()(1)],(cos[)()]([)(022122tttntntttntnatycsccscϕωϕω(7.2-22)7-5当发送“1”符号时，)()]([)(22tntnatVsc++=(7.2-23)当发送“0”符号时，)()()(22tntntVsc+=(7.2-24)在时刻包络检波器输出波形的抽样值为skT⎪⎩⎪⎨⎧+++=”符号发送“，”符号发送“01,][2222scscnnnnaV(7.2-25)发送“1”符号时的抽样值是广义瑞利型随机变量；发送“0”符号时的抽样值是瑞利型随机变量，它们的一维概率密度函数分别为2222/)(2021)(naVnneaVIVVfσσσ+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=(7.2-26)222/20)(nVneVVfσσ−=(7.2-27)式中，为窄带高斯噪声的方差。2nσ)(tn抽样判决器对抽样值作出判决，若抽样值大于判决门限，即时判为“1”符号输出；若抽样值小于等于判决门限，即bVbV≤时判为“0”符号输出。∫∫∞−==≤=bbdVVfdVVfbVPP)(1)()()1/0(101∫∞+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=baVnndVeaVIVn2222/)(2021σσσ(7.2-28)式(7.2-28)中的积分值可以用MarcumQ函数计算，Q函数定义为()∫∞+−=βααβαdtettIQt2/)(022),(将Q函数代入式(7.2-28)可得),(1)1/0(nnbaQPσσ−=(7.2-29)式中nbσ可看为归一化门限值，用表示，0b),2(1)1/0(0brQP−=(7.2-30)7-6式中，222narσ=为信噪比。同理∫∞==bdVVfbVPP)()()0/1(02/2/2/2202222bbbVneedVeVnn−−∞−===∫σσσ(7.2-31)若发送“１”符号的概率为，发送“０”符号的概率为，则系统)1(P)0(P的总误码率为eP)0/1()0()1/0()1(PPPPPe+=[]2/020)0(),2(1)1(bePbrQP−+−=(7.2-32)在系统输入信噪比一定的情况下，系统误码率将与归一化门限值有关。误码率的几何表示如图7-26所示。当归一化判决门限值处于和两条曲线的相交点时，图中阴影部分的面积最小，即此时系统的总误码率最小。为最佳归一化判决门限。0beP0b)()1(1VfP)()0(0VfP*0b*0b图7-26误码率的几何表示eP最佳归一化判决门限也可通过求极值的方法得到，令*0b0=∂∂bPe7-7可得)()0()()1(*0*1bfPbfP=(7.2-33)当时有)0()1(PP=)()(*0*1bfbf=(7.2-34)此时，最佳判决门限为*b2*ab=(7.2-36)最佳归一化判决门限为*0b2**0rbbn==σ(7.2-37)在小信噪比(1r)的条件下，式(7.2-35)可近似为2*2221()24nnaabσσ=此时，最佳判决门限为*b2*2nbσ=(7.2-38)最佳归一化判决门限为*0b2**0==nbbσ(7.2-39)在实际工作中，系统总是工作在大信噪比的情况下，因此最佳归一化判决门限应取2*0rb=。此时系统的总误码率为eP421441reererfcP−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=(7.2-40)当∞→r式，上式的下界为421reeP−=(7.2-41)在相同的信噪比条件下，同步检测法的误码性能优于包络检波法的性能；在大信噪比条件下，包络检波法的误码性能将接近同步检测法的性能。另外，包络检波法存在门限效应，同步检测法无门限效应。7-87-9