2009届二模闸北区高考数学理

题号一二三总分1-1011-131415161718得分上海市闸北区2009届高三模拟考试卷数学（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）一．填空题(本大题满分50分）本大题共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得5分，否则一律得零分.1．函数xy5.0log的定义域为___________.2．若21cot，则tan2的值为．3．增广矩阵为851231　　　　的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为．4．若9)12(x展开式的第9项的值为12，则)(lim2nnxxx=．5．已知向量a和b的夹角为120，2||a，且aba)2(，则||b________．6．在极坐标系中，定点A)2,3(，点B在曲线cos2上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是．7．设圆C与双曲线221916xy的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆C的标准方程为.8．方程1|2sin|xx的实数解的个数为．9．如图1是一个跨度和高都为2米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示是__________．图110．设Rba,，且bababa22，则ba的取值范围为．二．选择题（本大题满分15分）本大题共有3题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错一律得零分．得分评卷人得分评卷人MABDCO11．已知复数1zi，则122zzz……………………………………………………（）A．2iB．2iC．2D．212．过点)2,1(A，且与向量(4,3)m平行的直线的方程是…………………………()A．01034yxB．01034yxC．0543yxD．0543yx13．在ABC中，设a、b、c分别是A、B、C所对的边长，且满足条件abc2,2，则ABC面积的最大值为…………………………………………………………………()A．1B．23C．34D．2三．解答题(本大题满分85分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.14．（本小题满分14分）如图2，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OAABCD底面，2OA，M为OA的中点．（Ⅰ）求异面直线OC与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点M到平面OCD的距离．15．（本小题满分15分）一种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上0~9中的两个数字（允许重复）．中奖规则如下：如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；其他情况均无奖金．（Ⅰ）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；（Ⅱ）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件A，“购买一张这种彩票中二等奖”为事件B，请指出事件BA的含义，并求事件BA发生的概率；（Ⅲ）设购买一张这种彩票的收益为随机变量，求的数学期望．得分评卷人得分评卷人16．（本小题满分16分）设xxaxf212)(，其中实常数1a．（Ⅰ）求函数)(xf的定义域和值域；（Ⅱ）试研究函数)(xf的基本性质，并证明你的结论．17．（本小题满分20分）将数列na中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a……记表中的第一列数1a，4a，8a，…，构成数列nb．（Ⅰ）设mab8，求m的值；（Ⅱ）若11b，对于任何Nn，都有0nb，且0)1(1221nnnnbbnbbn．求数列nb的通项公式；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列nb，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为)0(qq的等比数列，且5266a，求上表中第k（Nk）行所有项的和)(kS．18．（本小题满分20分）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．一般来说，在空间直角坐标系xyzO中，空间曲面的方程是一个三元方程0),,(zyxF．（Ⅰ）在直角坐标系xyzO中，求到定点)1,2,0(0M的距离为3的动点P的轨迹（球面）方程；（Ⅱ）如图3，设空间有一定点F到一定平面的距离为常数0p，即pFM||，定义曲面C为到定点F与到定平面的距离相等（||||PNPF）的动点P的轨迹，试建立适当的空间直角坐标系xyzO，求曲面C的方程；图3（Ⅲ）请类比平面解析几何中对二次曲线的研究，讨论曲面C的几何性质．并在图4中通得分评卷人得分评卷人得分评卷人过画出曲面C与各坐标平面的交线（如果存在）或与坐标平面平行的平面的交线（如果必要）表示曲面C的大致图形．画交线时，请用虚线表示被曲面C自身遮挡部分．闸北区09届高三数学（理）学科模拟考试参考答案与评分标准一．填空题：1．]1,0(；2．43；3．)1,3(4．2；5．8；6.)3,1(；7．16)5(22yx；8．3；9．)316,0(；10．]4,0[．二．选择题：11．B；12．C；13．C．三．解答题：14．[解]（Ⅰ）方法一（综合法）设线段AC的中点为E，连接ME，则EMD为异面直线OC与MD所成的角（或其补角）………………………………..1分由已知，可得5,3,2MDEMDE，222)5()3()2(DEM为直角三角形……………………………………………………………….1分32tanEMDEEMD，……………………………………………………………….4分323arctanEMD．所以，异面直线OC与MD所成角的大小323arctan．…………………………..1分方法二(向量法)以AB,AD,AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系，则)0,2,0(),1,0,0(),0,2,2(),2,0,0(DMCO,……………………………………………………2分)2,2,2(OC，)1,2,0(MD，………………………………………………………………………………..1分设异面直线OC与MD所成角为，515||||||cosMDOCMDOC．………………………………..…………………………2分∴OC与MD所成角的大小为515arccos．…………………………………………………1分（Ⅱ）方法一（综合法）作ODMF于F，……………………………………………………………………………1分CDOA且CDAD，CD平面ADOMFCDMF平面OCD………………………………………………………………………………4分所以，点M到平面OCD的距离22ME…………………………………………………2分方法二(向量法)设平面OCD的一个法向量),,(zyxn，0220200zyxnDOnDC…………………………………………………………………2分yzx,0．)1,1,0(n……………………………………………………………………………………….2分设M到平面OCD的距离为h则22||||1DMnnh．……………………………………………………………………3分15．[解]（Ⅰ）设“小明中一等奖”为事件1B，“小辉中一等奖”为事件2B，事件1B与事件2B相互独立，1B2B他们俩都中一等奖，则0001.001.001.0)()()(2121BPBPBBP所以，购买两张这种彩票都中一等奖的概率为0001.0．………………………………..4分（Ⅱ）事件BA的含义是“买这种彩票中奖”，或“买这种彩票中一等奖或中二等奖”…1分显然，事件A与事件B互斥，所以，1.0101109101101)()()(BPAPBAP………………………………..3分故购买一张这种彩票能中奖的概率为1.0．……………………………………………………..1分（Ⅲ）对应不中奖、中二等奖、中一等奖，的分布列如下：208P9.009.001.0…………………………………………..………………………………………………….3分72.101.0809.009.02E购买一张这种彩票的期望收益为损失72.1元．…………………………………………………..3分16．[解]（Ⅰ）由于021x恒成立，所以函数)(xf的定义域为R………………..2分121121221)(xxxaxf，（1）当1a时，函数1)(xf，函数)(xf的值域为}1{…………………………1分（2）当1a时，因为02x，所以112x，11210aax，从而axf)(1，………………………………………………..3分所以函数)(xf的值域为),1(a．……………………………………………………….1分（Ⅱ）假设函数)(xf是奇函数，则，对于任意的Rx，有)()(xfxf成立，即10)12)(1(212212aaaaxxxxx当1a时，函数)(xf是奇函数．…………………………………………………….2分当1a时，函数1)(xf是偶函数．………………………………………………..2分当1a，且1a时，函数)(xf是非奇非偶函数．………………………………….1分对于任意的Rxx21,，且21xx，)(1xf)(2xf0)21)(21()12(2)1(21121xxxxxa………………………………………..3分所以，当1a时，函数)(xf是常函数………………………………………..1分当1a时，函数)(xf是递减函数．………………………………………..1分17．[解]（Ⅰ）由题意，4319876543m……………………………6分（Ⅱ）解法1：由11b且0)1(1221nnnnbbnbbn知012222bb，02b，212b012323bb，03b，213b因此，可猜测nbn1（Nn）………………………………………………………4分将nbn1，111nbn代入原式左端得左端11nn10)1(1nn即原式成立，故nbn1为数列的通项．……………………………………………………….3分用数学归纳法证明得3分解法2：由0)1(1221nnnnbbnbbn，0nb令nnaat1得0t，且0)1(2nttn即0])1)[(1(ntnt，……………………………………………………………………..4分所以11nnbbnn因此2112bb，3223bb，．．．，nnbbnn11将各式相乘得nbn1………………………………………………………………………………3分（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，且0q．因为6311543，所以表中第1行至第9行共含有数列nb的前63项，故66a在表中第10行第三列，………2分因此5221066qba．又10110b，所以2q．…………………………………..3分则)12(11)1()(22kkkkqqbkS．Nk…………………………………………2分18．[解]（Ⅰ）动点P的轨迹是以0M为原点，以3为半径的球面……………………………1分并设动点P的坐标为),,(zyx，动点P满足3||0PM．则球面的方程为9)1()2(222zyx．…………………………………………………4分（Ⅱ）设动点),,(zyxP，则||||PNPF所以|2|)2(222pzpzyx…………………………………………………………