2009年《力学》期中试卷解答

物理科学与技术学院2008级物理基地班、物理学类、物理中法班《经典力学》(上)课程期中考试试卷参考解答2009/4/271.（15分）质点Q沿抛物线22ypx运动，且质点的矢径在y轴上的投影为y=ct。试求该质点的运动速度，加速度，以及抛物线的曲率半径。【解】由y=ct及22ypx，可得2222ctyxpp对时间求导：2xdxctcyvdtpp，ydyvcdt，求得速度：222222xycycvvvcyppp再次对时间求导：2xxdvcadtp，0yydvadt，求得加速度：2xcaap由切向加速度2222222dvcyycyadtpyppyp，求得法向加速度为2nva442222222222222211nccycyaaacpppypypyp由2nva求得曲率半径为：2223222222221ncypyppvapcyp2.（15分）质量为m的小物块栓在穿过小孔的轻绳的一端，在光滑的平面上以角速度ω0作半径为r0的圆周运动,自t=0时刻起,手拉着绳子的另一端以匀速v向下运动,使半径逐渐减小，试求：(1)物块的角速度ω与时间t的关系,(2)绳子的张力与时间t的关系。【解】选取极坐标，小孔为极点，绳长为矢径，m的动力学方程为，径向：2()mrrF①，横向：20()mrr②由题意：0rrvt，rv，0r，，ddt。则据②式有：02()drvtvdt，或02()ddtvrvt③2题图对③式两边积分0002()tddtvrvt得到2000lnlnrrvt。即有2000rrvt④结果代入①式：402003022()mrFrmvtvmrtr⑤3.（15分）一长为L的光滑管道，绕过其一端的竖直轴以匀角速ω0转动。在管中有一小球从另一端以速度00v=L向中心轴O滑动。（1）求小球滑到距O点为r时的速度；（2）求小球滑到距O点为L/2处所需的时间；（3）小球能否到达O处。【解答】（1）以管子为参照系（s’），小球在沿管子的径向受力为惯性离心力：F＝mω02r，即有2200dvdvmmrorrdtdt2200dvdvdvvvrorvdvrdrdtdrdr，两边积分得：0vr22222220000vLvdvrdrvvrL即，代入v0=Lω0得到v2=ω20r2即v=－ω0r（v的方向是径向之负）（2）由0drvrdt,即rt00L0drdrdt,dtrr01Ltlnr。当Lr2时，01tln2（3）若r→0，则t→∞，所以小球不可能到达O点。4.（15分）一面积为A，质量为M0的圆盘在一常力F的作用下，从静止出发沿着与圆盘面成垂直的方向，在具有均匀的体积密度为ρ的尘土中运动，尘土以常数速率V作与圆盘相反的方向运动。假如同圆盘相遇的尘土皆粘在圆盘上，求任意时刻t，圆盘的速度及移动的距离。【解】这是变质量问题，考虑变质量动力学方程：mdvdmmuFdtdt以上：(),muvVFF（常量），方程变为：()dvdmdvdmdmdmvdmmvVmvVVFdtdtdtdtdtdtdt①即有dmvVdmFdt。两边积分0000mvmtmvmdmvVdmFdt3题图得到000mvmvmVmVFt②据题意，当t=0时，m=M0，v=v0=0，则有0mvmVMVFt③得到0FtMVmvV④。据题意()dmAvVdt⑤则有1()dmvVAdt⑥。代入④式得到0mdmFtMVAdt，即0mdmAFtMVdt积分得到222001()22FtmMAMVt，整理得到22002mAFtMVtM⑦⑦代入④式可得022002FtMVvVAFtMVtM⑧考虑⑤式()dmAvVdtAvdtAVdtAdxAVdt，两边积分有0mMAxAVt，可得到01()xVtmMA⑨5.（15分）质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于支架的O点上，支架固连在矩形木板上，板与支架的质量为M，整个装置放在光滑的水平桌面上。今将小球拉至A点，即绳处于水平位置，在小球与木板均处于静止的情况下释放小球。（1）求当小球落到最低位置C时木板的运动速度vM和小球的运动速度vm（2）试问，在小球从A点运动到C点的过程中，绳子的张力对小球是否作功？若作功，则求出此功。【解答】（1）小球，木板系统机械能守恒，以A点的水平位置为势能零点，则有2211022ACmMEEmvMvmgl因为系统在水平方向无外力，故水平方向动量守恒，即有0mMmvMv即MmmvvM两式联立解得222,()mmMmmMglvMMMMglglvvmMmmmMM（2）分析：将小球与木板看作合系统，张力是内力。以地面系来看，设张力对小球为Am，张力对木板做的功为AM。而一对内力作功与参考系无关，以M为参照系，小球运动速度方向总与张力方向垂直（圆周运动），张5题图力不作功，则有Am＋AM＝0，所以有Am＝－AM。张力对木板作功使之获得动能，应有22211222()MMglMvMmMMmglmmAM，2mMmglAAMm6.（10分）长为L、线密度为λ的柔软绳索，原先两端A、B并合在一起，悬挂在支点上。现让B端脱离支点自由下落，求B端下落了x时，支点上所受的力。【解】以A点为坐标原点，软绳系统的质心为2211224244cLxLxLxLxxxLLxxLL①对时间求导得12242cxxLxxxLxLL②，222cxxxLxLL③因为2xgx，xg④所以有23222cggxgxLxLxLLL⑤根据32cgLgTLxLx⑥可得2233gLgLgTLxx⑦当0x时，2LgT；当xL时，2TLg7.（15分）检验如下作用在质点上的力是否为保守力？若是保守力，求出其势函数。332342(620)i(610)j(18)kFabyzbxyabxzbxyabxyz【解】由题所给332342620,610,18xyzFabyzbxyFabxzbxyFabxyz3322640,18,18yyzzxxFFFFFFabzbxyabxzabyzyxzyxz满足0F汛=r，所以F是保守力。求势函数Up。据定义332342033232434234262061018661820106565(()()()()()()()ppUUabyzbxydxabxzbxydyabxyzdzabyzdxabxzdyabxyzdzbxydxbxydydabxyzdbxyabxyzbxy）轾犏臌--=-+-+=++-+=-=-òò蝌得到423056ppUbxyabxyzU=-+6题图