2009年全国高中数学联合竞赛湖北省

2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）1．已知复数m满足11mm，则200920081mm0．2．设2cossin23cos21)(2xxxxf，]4,6[x，则)(xf的值域为3[2,2]4．3．设等差数列na的前n项和为nS，若0,01615SS，则15152211,,,aSaSaS中最大的是88Sa．4．已知O是锐角△ABC的外心，10,6ACAB，若ACyABxAO，且5102yx，则BACcos13．5．已知正方体1111DCBAABCD的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体1MNBO的体积为748．．设}6,5,4,3,2,1{CBA，且}2,1{BA，CB}4,3,2,1{，则符合条件的),,(CBA共有1600组．（注：CBA,,顺序不同视为不同组．）7．设xxxxxxycscseccottancossin，则||y的最小值为221．8．设p是给定的正偶数，集合},3,22|{1NmmxxxAppp的所有元素的和是21122pp．二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）9．设数列)0}({nan满足21a，)(2122nmnmnmaanmaa，其中nmnm,,N．（1）证明：对一切Nn，有2212nnnaaa；（2）证明：1111200921aaa．证明（1）在已知关系式)(2122nmnmnmaanmaa中，令nm，可得00a；令0n，可得maamm242①令2nm，可得)(212242222nnnaaaa②由①得)1(24122naann，62412aa，)2(24242naann，naann242，代入②，化简得2212nnnaaa．------------------------------------------7分（2）由2212nnnaaa，得2)()(112nnnnaaaa，故数列}{1nnaa是首项为201aa，公差为2的等差数列，因此221naann．于是nknkkknnnkaaaa1101)1(0)2()(．因为)1(111)1(11nnnnnan，所以1201011)2010120091()3121()211(111200921aaa．------------------------------------------14分10．求不定方程21533654321xxxxxx的正整数解的组数．解令xxxx321，yxx54，zx6，则1,2,3zyx．先考虑不定方程2153zyx满足1,2,3zyx的正整数解．1,2,3zyx，123215yxz，21z．----------------------------------5分当1z时，有163yx，此方程满足2,3yx的正整数解为)4,4(),3,7(),2,10(),(yx．当2z时，有113yx，此方程满足2,3yx的正整数解为)2,5(),(yx．所以不定方程2153zyx满足1,2,3zyx的正整数解为)2,2,5(),1,4,4(),1,3,7(),1,2,10(),,(zyx．------------------------------------------10分又方程)3,(321xNxxxxx的正整数解的组数为21xC，方程yxx54)2,(xNy的正整数解的组数为11Cy，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为81693036CCCCCCCC1124132312261129．------------------------------------------15分11．已知抛物线C：221xy与直线l：1kxy没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．(1)证明：直线AB恒过定点Q；(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：QNQMPNPM．证明(1)设11(,)Axy，则21121xy．由221xy得xy，所以11|xyxx．于是抛物线C在A点处的切线方程为)(111xxxyy，即11yxxy．设)1,(00kxxP，则有11001yxxkx．设22(,)Bxy，同理有22001yxxkx．所以AB的方程为yxxkx001，即0)1()(0ykxx，所以直线AB恒过定点)1,(kQ．------------------------------------------7分(2)PQ的方程为002()1kxyxkxk，与抛物线方程221xy联立，消去y，得02)22(42002002kxkxkxkxkxx．设),(33yxM，),(44yxN，则0024300432)22(,42①要证QNQMPNPM，只需证明kxxkxxxx430403，即02))((2043043kxxxxkxx②由①知，②式左边=0000002242)(4)22(2kxkxkxxkkxkxk0)(2)42)((4)22(20000002kxkxkxkxxkkxk．故②式成立，从而结论成立．------------------------------------------15分12．设dcba,,,为正实数，且4dcba．证明：22222)(4baaddccbba．证明因为4dcba，要证原不等式成立，等价于证明dcbabadcbaaddccbba22222)(4①----------------5分事实上，)(2222dcbaaddccbba)2()2()2()2(2222daadcddcbccbabba2222)(1)(1)(1)(1adadcdcbcbab②----------------10分由柯西不等式知2222()()()()[]()abbccddaabcdbcda2|)||||||(|addccbba③----------------15分又由||||||||abaddccb知22)(4|)||||||(|baaddccbba④由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立．------------------------------------20分