运筹学--熊伟第三版

运筹学OperationsResearch请确认眼神！本课程共32学时，共16周考核方式：(考试课)平时成绩30%+期中考试30%+期末考试40%平时成绩：出勤、作业、阅读文献期中考试：闭卷考试期末考试：闭卷考试课堂纪律：（1）按时到课每次3分（2）独立完成作业每次6分（一学期共5次）（3）阅读文献每次任务5分课程要求6运筹学的活动始于二次世界大战初期的军事任务，成功地解决了许多稀缺资源分配以及一些重要的作战问题（雷达防空作战、管理护航队和开展反潜艇作战的研究），在战后工业恢复繁荣时转入工商企业和其它部门，在50年代以后得到了广泛的应用。形成了比较完备的一套理论，如规划论、存贮论、决策论等等，再加上电子计算机的问世为OR的实际应用提供了强有力的工具，由此大大促进了运筹学的发展.二、运筹学起源与发展7三、运筹学的应用生产计划：最优生产计划的安排、日程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等，追求利润最大化和成本最小化运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度投资决策问题：项目选择、金融投资问题等。8四、运筹学的研究对象运筹学的研究对象是一个系统(如经济系统、作战系统、工作系统等)的组织管理中可以定量化的问题。方法：建立数学模型并求解；目标：从各种可供选择的方案中找出一个最好的或满意的方案，以实现系统的某一或某些指标整体最优化研究成果：为各级管理(领导)人员在作决策时提供科学的依据。9运筹学的具体内容包括：规划论（包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、决策论、博弈论、排队论、存储论等。五、运筹学的研究内容Chapter1线性规划1.1LP的数学模型1.2图解法1.3标准型1.4基本概念1.5单纯形法11管理工作中的大量优化问题可以用线性规划的模型来表达；模型较为简单，容易建立，容易学习和掌握。求解方法采用成熟的单纯形法。目前，用单纯形法解线性规划的计算机程序已大量涌现，在计算机上求解此类问题已十分容易。线性规划简介线性规划是运筹学的一个最基本的分支，它已成为帮助各级管理人员进行决策的一种十分重要的工具．是一种目前最常用而又最为成功的定性分析和定量分析相结合的管理优化技术。1.1线性规划的数学模型线性规划（LinearProgramming,缩写为LP）通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大）。1.1数学模型知识：（1）变量的确定（2）约束条件（3）目标函数。一个实际问题的数学模型，是依据客观规律，对该问题中我们所关心的那些量进行科学的分析后得出的反映这些量之间本质联系的数学关系式。【例1-1】生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙两种产品。按工艺资料规定，每件产品甲需要消耗A材料2公斤，消耗B材料1公斤，每件产品乙需要消耗A材料1公斤，消耗B材料1.5公斤。已知在计划期内可供材料分别为40、30公斤；每生产一件甲、乙两产品，企业可获得利润分别为300、400元，如表1－1所示。假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大。1.1线性规划的数学模型1.1.1应用模型举例12max300400Zxx【解】设x1、x2分别为甲、乙产品的产量，数学模型为：产品资源甲乙现有资源材料A2140材料B11.530利润（元/件）3004001212122401.5300,0xxxxxx表1-11.1线性规划的数学模型线性规划的数学模型由决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction及约束条件Constraints构成。称为三个要素。其特征是：1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？1.1线性规划的数学模型【例1-2】某超市决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，超市每天需要的营业员如表1-2所示。表1-2营业员需要量统计表超市人力资源部应如何安排每天的上班人数，使超市总的营业员最少。星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四4001.1线性规划的数学模型【解】设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为145671256712367123471234523456345673003003504004806005500,1,2,,7jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四4001234567minZxxxxxxx1.1线性规划的数学模型1X10C1404=3001042X267C2301=30013X3146C3350=35004X4170C4400=40005X597C5480=48006X6120C6600=60007X717C7550=5500最优解：Z＝617（人）注：表中是取整数后的结果！整数规划将在第3章讲解。1.1线性规划的数学模型【例1-3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？【解】这是一个条材下料问题，设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1-3所示。表1-3下料方案方案规格12345678910需求量y1(根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料（m）00.30.50.1o.400.30.60.20.51.1线性规划的数学模型设xj(j=1,2…,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。102,1,010005423210002342100022min10987542987643154321101，jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZjjj方案规格12345678910需求量y1(根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料（m）00.30.50.1o.400.30.60.20.51.1线性规划的数学模型1X15002X203X304X405X506X662.57X708X809X925010X100Z＝812.51.1线性规划的数学模型【例1-4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1-4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表1-4矿石的金属含量合金矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用（元/t）1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901.1线性规划的数学模型解:设xj（j=1,2，…，5）是第j种矿石数量，得到下列线性规划模型注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用（元/t）1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901234512451345135123451234512min3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3450.40.80.4510,1,2,,5jxxxxj1.1线性规划的数学模型1X102X20.33333X304X40.58335X50.6667最优解：Z=347.51.1线性规划的数学模型【例1-5】投资问题。某投资公司拟将5000万元的资金用于国债、地方国债及基金三种类型证券投资，每类各有两种。每种证券的评级、到期年限及每年税后收益率见表1-5所示。表1－5证券投资方案决策者希望：国债投资额不少于1000万，平均到期年限不超过5年，平均评级不超过2。问每种证券各投资多少使总收益最大。序号证券类型评级到期年限每年税后收益率(%)1国债1183.22国债21103.83地方债券1244.34地方债券2364.75基金1434.26基金2544.61.1线性规划的数学模型解设xj(j=1,2,…，6)为第j种证券的投资额，目标函数是税后总收益为123456(83.2103.844.364.734.244.6)/100Zxxxxxx资金约束：1234565000xxxxxx国债投资额约束：121000xx平均评级约束：12345612345623452xxxxxxxxxxxx平均到期年限约束：12345612345681046345xxxxxxxxxxxx1.1线性规划的数学模型整理后得到线性规划模型1234561234561212456123456max0.2560.380.1720.2820.1260.1845000100023035200,1,2,,6jZxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj决策结果：X=(250,750,3500,0,500,0)Z=10141.1线性规划的数学模型【例1-6】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。【解】设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是)31,21min(21xxy设备A、B每天加工工时的约束为60831096082452121xxxx要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束为60)109()452121xxxx（1.1线性规划的数学模型目标函数线性化。产品的产量y等价于2131,21xyxy整理得到线性规划模型约束