复变函数与积分变换1.4-解析函数

§1.3.4解析函数的概念1导数与微分2C-R条件3解析与奇点一、复变函数的导数000()()limzzfzfzzz1、复变函数导数的定义定义2设是定义在区域E上的()wfz存在，则称在点可导,并把这个极()fz0zz限值称为在点的导数，记做0().fz()fz0zz复变函数,z0是区域E内的定点.若极限定义中的极限式可以写为000()()lim,zfzzfzz即当在点可导时,()fz0zz0000()()()limzzfzfzfzzz注意0(0)zzz的方式是任意的.000()()lim.zfzzfzz此时，对E内任意一点z,有0()()()lim.zfzzfzfzz也可用dd(),ddwfzzz等表示在z点的导数.()fz若在区域E内每一点都可导,则称()fz()fz在区域E内可导.则例1设2(),fzz()fz在复平面内处处可导，且()2.fzz解因为zzfzzfzfz)()(lim)(0zzzzz220)(lim0lim(2).zzz22.zz所以例2证明()2fzxyi在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z,有()()fzzfz2.xyi()2()2xxyyixyi故0lim[()()]0.zfzzfz这说明()2fzxyi在复面内处处连续.()()fzzfzz()2()2xxyyixyixyi2.xyixyixyoz0y但是,设沿着平行于x轴的z方向趋向于0,即0,0.xy于是xyoz0y0002limlim1.xxyxyixxyix0x002limxyxyixyi02lim2.yyiyi所以()2fzxyi的导数不存在.设沿着平行于y轴的方向趋向于0,即z0,0,xy2、可导与连续的关系0000()()lim()0,zfzzfzfzz函数f(z)在z0处可导，则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.事实上,由f(z)在z0点可导,必有).()()()(000zfzzfzzfzr令000()()()(),fzzfzfzzzzr,)()(lim000zfzzfz所以0lim()0,zzr再由即()fz在0z处连续.反之,由知,不可导.例1.9证明()2fzxyi在复面内处处连续，但处处不可导.例1()2fzxyi但是二元实函数连续,(,),(,)2uxyxvxyy于是根据知,函数连续.定理7设()(,)(,),fzuxyivxy则f(x)在000zxiy处连续的充分必要条件是(,),uxy(,)vxy都在00(,)xy点连续.定理7()2fzxyi3、求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同.求导公式与法则:(1)()0,c其中c为复常数.(2)1(),nnznz其中n为正整数.).()()()()3(zgzfzgzf).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf2()()()()()(5),(()0).()()fzfzgzfzgzgzgzgz1(7)(),()fzw(6)[()]()(),fgzfwgz().wgz其中其中()wfz与()zw是两个互为反函数的单值函数,且()0.w二、解析函数定义2.5在区域D有定义.fz(1)设,若存在的一个邻域，使得0zD0z在此邻域内处处可导,则称在处解析,()fz0z()fz也称是的解析点.0z()fz(2)若在区域D内每一点都解析，则称()fz在区域D内解析,或者称是区域D内的()fz()fz解析函数.(3)设G是一个区域，若闭区域,DG且在G内解析，则称在闭区域上()fz()fzD解析.函数在处解析和在处可导意义()fz0z0z不同，前者指的是在的某一邻域内可导,0z但后者只要求在处可导.0z函数在处解析和在的某一个邻()fz0z0z域内解析意义相同.复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的.事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.反之,设函数在区域D内可导,则对()fz任意存在z的某一个邻域U,使得UD,,zD由在D内可导,可知在U内可导,即()fz()fz在z处解析.()fz若函数在处不解析，则称是()fz0z0z()fz的奇点.若是的奇点,但在的某邻域内,0z()fz0z除外,没有其他的奇点，则称是函数0z0z()fz的孤立奇点.由例1和例2知,函数是全2()fzz平面内的解析函数，但是函数()2fzxyi是处处不解析的连续函数.根据求导法则，很容易得到下面的结论.定理2.6设函数在区域D内解析,则(),()fzgz()(),()()fzgzfzgz也在D内解析.当时,是00,()0zDgz0zfzgz的解析点.特别地,多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的孤立奇点.例3证明在处可导,2()fzzz0z但处处不解析.证明根据导数的定义,200()(0)limlim0.zzfzfzz因此在处可导，且()fz0z(0)0.f当时,由得00z22000,zzzzzz22000()()fzfzzzzz22220000()().zzzzzzzz故2000000()()().fzfzzzzzzzzzzz虽然020000lim()22,zzzzzzzz但是当z分别从平行于x,y轴方向趋于z0时，分别00zzzz以1和-1为极限，因此不存在.又因为000limzzzzzz00,z所以不存在，即000()()limzzfzfzzz()fz在时不可导,从而在复平面内处处不解析.0z§1.4.2复函数可导与解析的充要条件如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题如何判断函数的解析性呢？一.解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu)],(),([)],(),([则可导在点设函数,),(),()(iyxzyxivyxuzfwzzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz),(),(lim),(),(lim)],(),([)],(),([lim)()(lim)(0000)0(yzzz若沿平行于实轴的方式xvixuyiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz),(),(lim),(),(lim)],(),([)],(),([lim)()(lim)(0000)0(xzzz若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui1yuxvyvxuyuiyvxvixuzf)('存在记忆yvxvyuxu定义对于二元实函数u(x,y)和v(x,y)，方程称为柯西-黎曼方程(简称C-R方程).yuxvyvxu定理2设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是（1）u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微；（2）u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程yuxvyvxu上述条件满足时，有().uvuuvvyufziiiixxxyyxyy由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.利用该定理可以判断那些函数是不可导的.定理2的证明略。由解析函数的定义及定理2，我们可以得到定理3.定理3函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是（1）u(x,y)和v(x,y)在D内可微（2）u(x,y)和v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程yuxvyvxu解析函数的判定方法:(1)如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数f(z)的导数在区域D内处处存在,则可直接断定f(z)在区域D内解析.(2)如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连续(因而u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微),并且满足柯西-黎曼方程,则由解析函数的充要条件可以断定函数f(z)在区域D解析.判定复变函数可导性与解析性的步骤：I)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性；II)验证C-R方程；III）根据推论或定义判断函数的解析性。前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在可导点处的导数为二.举例。yiyezfzwx)sin(cos)()2(;)1(例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iyw=x-iyu=x,v=-y则析。在全平面不可导，不解故zwyvxuyvxvyuxu1001(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny在全平面可导，解析。故)sin(cos)(cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx)(sincos)('zfyieyexvixuzfxx例3设2222()(),fzxaxybyicxdxyy其中a,b,c,d是常数，问它们取何值时,函数f(z)在复平面上解析.解：显然，22,uxaxyby在全平面可微，且22vcxdxyy2,2.vvcxdydxyxy2,2,uuxayaxbyxy容易看出,当时,函数2,1,1,2abcd(,),(,)uxyvxy满足柯西-黎曼方程,这时函数在全平面解析.()fz