复变函数与积分变换第8章 傅里叶变换ppt

第8章傅里叶变换•8.1傅里叶变换的概念•8.2单位脉冲函数（δ函数）•8.3傅里叶变换的性质从T为周期的周期函数fT(t)，如果在上满足狄利克雷条件，那么在上fT(t)可以展成傅氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形式为2,2TT2,2TT)1.1.1()sincos(2)(1000nnnTtnbtnaatfdttfTaTTT)(2220)321(cos)(2220,,,ntdtntfTaTTTn)321(sin)(2220,,,ntdtntfTbTTTn预备知识)0()0(2100tftfTT在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为复指数形式ntjnnTectf0)(其中称为频率，频率ω0对应的周期T与fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，nω0称为fT(t)的n次谐波频率。T20cn为周期函数fT(t)的离散频谱，|cn|为离散振幅谱，argcn为离散相位谱。常记F(nω0)=cn也叫做的傅氏积分表达式1.傅立叶变换的概念()()jtFftedt1()()2jtftFed()ft叫做()ft的傅氏变换,象函数,可记做=ℱ[]()F叫做()F的傅氏逆变换,象原函数,()ft()ft=ℱ1()F()F()ft1()()2jtftFed例1求函数的傅氏变换()()jtFftedt1()00tcftctc解2sin020cc02ccjtjtcedtedt例2求函数的傅氏变换解0t0()(0)t0tfte()0()022()()101jtjttjtjtFftedtedteedtejjj这是一个指数衰减函数，工程技术中经常遇到2.δ－函数及其傅立叶变换在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.2.1δ函数的定义•（1）看作矩形脉冲的极限•（2）δ函数的数学定义•（3）物理学家狄拉克给出的定义满足下列两个条件的函数称为δ函数：（1）（2）0()lim()tt()0(0)tt()1tdt0,0;1(),00,tttt2.2δ函数在积分变换中的作用δ函数的傅氏变换是广义傅氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件的，这些函数的广义傅氏变换都可以利用δ函数而得到。3.δ函数的性质（1）对任意的连续函数()ft()()=0tftdtf00()()ttftdtft（2）函数为偶函数,即()t()()tt（3）()ttdtut其中,0001)(tttu称为单位阶跃函数.)(tudtdt.-函数的傅氏变换为:0[()]()()ede1jtjtttFttF于是(t)与常数1构成了一傅氏变换对.11()[1]2jttedF2()jtedt证法2：若F()=2(),由傅氏逆变换可得j01()2()ed12tjtfte例1证明：1和2()构成傅氏变换对.证法1：12.jtjsedtstedsF1000jjjj0j01()()ed212()edee.2e2()tttttftF证：即和构成了一个傅氏变换对。0j0e2()t例2证明和构成一个傅氏变换对。由上面两个函数的变换可得0jj()0ed2()ed2()tttt4.常用函数的傅立叶变换对1和2()构成傅氏变换对1t与常数1构成了一个傅氏变换对t)(21与也构成了一个傅氏变换对0tt0tje0tt0jte和也构成傅里叶变换0jte02())(200tje例求单位阶跃函数的傅氏变换解注意到1()j可以证明ℱ000sin()()tj=ℱ000cos()()t=例求正弦函数f(t)=sin0t的傅氏变换。0000j0jjj()j(j0000()[()]esindee1ed(ee)d2j2j12()2()j()().2jttttttFftttttF5.Fourier变换与逆变换的性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏变换中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.)]([)]([)]()([)]([)]([)]()([111GBFABGAFtgbtfatbgtafFFFFFF1.线性性质:2.位移性质:为实常数，则，若00,)()]([tFtfF0000100[()]()[()]()[()]()jtjtjtftteFFefteftF，或FFF00000()0[()]()()()()jtjstjtjtjsfttfttedtsttfsedsefsedseFF证明：1求ℱ0()uttℱ1()()()utFj解因为所以ℱ0()utt000001()()1()1()jtjtjtjtjteFejeejej2已知12()1ℱ求1(1)ℱ解101()()12ftℱ011(1)()2jtjtfteeℱℱ显然2(1)jte1[()]()0,11[()]();[()]()ftFatfatFFatfaaaa若，则FFF3.相似性：证明：1(),0[()]()1(),011()()sjasatjtsjajsafsedsaafatfatedtfsedsaafsedsFaaaF例1计算。)]25([tuF（先用相似性，再用位移性）)25()5(),2()(tutgtutg则令5522552511[(52)][(5)][()][(2)]55111[()]()5515.55jjjutgtgtuteutejejFFFFF4.微分性：则，且若原像函数的微分性：,0)(lim)()]([tfFtftF[()]()ftjFF()()lim()00,1,2,,1,()()ktnnftknftjF一般地，若则F()()()[()][()]()()()[()][()]()nnnnnnFjtfttftjFFjtfttftjF像函数的微分性：或或FFFF5.积分性：[()]()lim()(0)0,1[()]().tttftFfsdsFfsdsFj设，若则FF6.帕塞瓦尔(Parserval)等式221()d().2fttFd[()]()ftF设，则有F实际上,只要记住下面五个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.022j04()11()()j1()je2()eettttutute00j0j022()1,()e12(),e2()1()()jd1()()()djj1()j()tttttutjtutjjtut因由位移性质得由得由例2利用傅氏变换的性质求(tt0),0je,()ttut以及的傅氏变换.例3若f(t)=cos0tu(t),求其傅氏变换。)]()([2j)()j(1)()j(121)(2ee)()()(j1)(002200000jj00Ftutftutt6卷积与卷积定理1．,上的卷积定义若给定两个函数1(),ft2()ft,则积分dtff)()(21称为函数1(),ft2()ft的卷积,记为1()ft2()ft12()()fftd例1求下列函数的卷积：120000(),();,0,.0e0ttttftftett由卷积的定义有012120()00()()()()d0ed0eed11eeeetttttttttftftffte()()()()()()()()fggffghfgfhfghfghAfgAfgfAgAdfgtftgtftgtdtftftft交换律：加法分配律：结合律：数乘：为常数求导：2.卷积的简单性质：例2对函数111ftututt2,1ft计算卷积1111ttftututt0其它解所以1112211()()0ftftftdd3．傅氏变换的卷积定理=ℱ2()F2()ft=ℱ1()F1()ft(1)若则ℱ11212()()()()FFftft1212()()()()ftftFFℱ=ℱ2()F2()ft=ℱ1()F1()ft(2)频谱卷积定理则12121()()()()2ftftFFℱ若例3求的傅氏变换。0jtftetut001[()][()][][()]2jtjtftetutetutFFFF0022011.jtjt020211221122jjtdt