这一章的主要内容

这一章的主要内容：第四章习题课§4.1矩阵的特征值与特征向量对应的特征向量。称为与特征值的非零解向量一个特征值，相应为的存在非零解向量，则称是一个数，如果方程阶矩阵，为设定义XAXAXnA1.4定义4.2设A为n阶矩阵，含有未知量λ的矩阵λI-A称为A的特征矩阵，其行列式|λI-A|为λ的n次多项式，称为A的特征多项式，|λI-A|＝0称为的特征方程。求特征值和特征向量的步骤：1）计算A的特征多项式|λI-A|。2）求出特征方程|λI-A|＝0的全部特征值。3)对每个特征值λ0，求出相应的齐次线性方程组（λ0I-A）x=0的一个基础阶系η1,…,ηt，则A的λ0关于的特征向量为：c1η1+…+ctηt。。有一个特征值为是奇异矩阵阶矩阵命题01AAn命题2：矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一特征值不为零。（二）特征值与特征向量的性质：定理4.1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.。（，即小于模的的所有特征值有一个成立，则矩阵（）或（（）（阶矩阵，如果是设定理),,2,1,11),,2,112),,2,111)(2.411niAnjanianaAkkkniijnjijij线性无关。，对应的特征向量互不相同的特征值阶矩阵定理mmxxAn,,,,3.411补充性质：若λ是矩阵A的特征值，x是关于λ的特征向量，则：a)kλ是kA的特征值。b)λm是Am的特征值,m是自然数。c)A可逆时，λ-1是A-1的特征值。§4.2相似矩阵(一)相似矩阵定义及其性质。∽相似，记为与成立，则称矩阵存在，使得阶非奇异矩阵阶矩阵，如果有为设定义BABABAPPPnnBA1,3.4定理4.4如果n阶矩阵A,B相似，则它们有相同的特征值。自反性：A∽A。对称性：A∽B则B∽A。传递性：A∽B及B∽C可得：A∽C。但逆命题不成立：相似矩阵的性质：1）相似矩阵有相同的秩。2）相似矩阵的行列式相等。3）相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。NkBABAkk,,)4∽则∽问题：1）是否所有的n阶矩阵能与对角矩阵相似？如不，相似需要何条件？2)如n阶矩阵A能与对角矩阵相似，则相似的变换矩阵P如何得到？3)n阶矩阵A相似的对角矩阵是怎样的矩阵？4）对某些n阶矩阵不能与对角矩阵相似，则能否有新的且较简单的矩阵与它相似？（二）阶矩阵与对角矩阵相似的条件.5.41nnAnAn＝。其中个线性无关的特征向量有矩阵相似阶对角矩阵与阶矩阵定理相似。＝与对角矩阵则，，个相异的特征值有阶矩阵若推论nnAnAn11;注意：有n个相异特征值只是可化为对角矩阵的充分条件，而不是必要条件。换句话说，特征值不全相异时也有可能化为对角矩阵。。是的秩重特征值，矩阵每一个对于与对角矩阵相似阶矩阵定理iiinnAInAn6.4个向量的基础解系。有必须重根，则的为简单说：iiiinXAInA0)(§4.3实对称矩阵得特征值和特征向量（一）向量内积.;5.41111niiiTTniiinnnbababbaaR。即记作的内积。和称为向量则实数，中，设向量在定义TTTTnkkR))(21），，内积有下列性质：00,0)4))(3＝时，有＝当且仅当TTTTT不等式。称为—————。，有，）对任意向量为实数。）。＝时有＝，当且仅当）有以下性质：数。向量长度也称为向量范，有记为，其长度中的向量对定义cauchykkkaaaaaRTnTTnn3,20001,),,(6.4222211单位向量。是一个，向量中的任一非零向量对于的向量称为单位向量。长度为11nR到的向量。得的长度去除向量单位化：用向量向量（二）正交向量组定义4.7如果两个向量α与β的内积等于零，即：αTβ=0，则称向量α与β互相正交（垂直）。定义4.8Rn中的非零向量组α1,α2,…,αn两两正交，即αiTαj=0，(i≠j)则称该向量组为正交向量组。定理4.8Rn中的正交向量组必线性无关。但是：无关向量组未必是正交向量组。11112222111122223111133311112221121,,,)(ssTssTsTTsTTsssTTTTTTnsRSchmidtGram令中的线性无关向量组，为正交化方法：施密特可以验证，β1，β2，…，βs是正交向量组，且与α1，α2，…，αs可以相互线性表示。（三）正交矩阵定义4.9设n阶实矩阵，满足QTQ=I则称Q为正交矩阵。定理4.9设Q为n阶实矩阵，则Q为正交矩阵=Q的列（行）向量组是单位正交向量组。正交矩阵的性质：1）若Q为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1。2)若Q为正交矩阵，则Q可逆，且Q-1=QT。3)若P、Q为正交矩阵，则它们的积PQ也是正交矩阵。（不证）（四）实对称矩阵的特征值和特征向量定理4.10实对称矩阵的特征值都是实数。定理4.11实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的。。，且其重数分别为，不同的特征值有个阶实对称矩阵如果nkkkkmAnmmm111,,,,。的线性无关的特征向量特征值个对应于恰有，重特征根的可以证明：对于iiiikAkA定理4.12设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵。至此，只要矩阵为实对称矩阵，则一定可与对角矩阵相似。这一章的主要问题：一、求矩阵的特征值与特征向量；相关的简单的证明。特征值与特征向量。的求已知例AA,011101110.1例2、已知A的特征值λ及相应的特征向量为x，P是可逆矩阵，则P-1AP的特征值为————，P-1AP的特征向量为——————。xP1。的特征向量，求矩阵的逆是矩阵已知例kAAkx121112111211.3例4、λ1、λ2是A的两不同特征值，相应的特征向量为x1、x2，则ax1+bx2不是A的特征向量,a,b为非零常数。例5、A和B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0,B2+B=0,AB=BA=0,证明：1）λ=-1必为A和B的特征值。2)如x1,x2是A和B的特征值λ=-1的特征向量，则x1,x2线性无关。二、矩阵的相似对角化求矩阵的相似对角矩阵及变换矩阵，相关问题的证明。阵。相似对角矩阵及变换矩的求已知例AA,211121112.6的值。，求∽已知设例baBAbBaA,,00020001,11322002.7.,3421.8nAA求设例三、关于向量的内积、长度、正交化、单位化单位化。，）把正交化，，把）计算：例4)3,)2,1;)1,5,1,3(,)3,2,2,1(.9TTT四、正交相似对角化和正交矩阵求矩阵的正交相似对角矩阵，相关的证明。正交相似对角矩阵。的求已知例AA,211121112.10的特征值。也是的特征值，则阶正交矩阵是例AAn1.11。也是正交矩阵且方阵，则阶为是正交矩阵，设例0,,,0.12RQPnmQPQRPA