应用概率统计总复习

应用概率统计应用概率统计第2页返回目录重要知识点与典型例题应用概率统计模拟试题解答应用概率统计总复习应用概率统计第3页返回目录重要知识点与典型例题概率论的三大任务应用概率统计第4页返回目录计算概率的基本方法古典概率几何概率条件概率()AnAPAn包含的样本点数中的样本点总数()()()PABPBAPA()ASAPAS的度量的度量应用概率统计第5页返回目录求实际问题概率的分析过程随机试验E随机事件A()?PA维恩图运算律概率的性质等应用概率统计第6页返回目录例设21P(B),41P(A)，就下列三种情况求()PBA：（1）A与B互不相容；（2）BA；（3）81P(AB)．应用概率统计第7页返回目录解（1）P(BA)（2）P(BA)（3）P(BA)1P(B)21P(B)P(A)43P(B)P(AB)8应用概率统计第8页返回目录计数原理乘法原理若完成某件事必须经过m个不同步骤，第一个步骤有1n种完成方法，第二个步骤有2n种完成方法，…，第m个步骤有mn种完成方法，则完成这件事共有12mnnn种方法．应用概率统计第9页返回目录加法原理若完成某件事有m类不同办法，第一类办法有1n种完成方法，第二类办法有2n种完成方法，…，第m类办法有mn种完成方法，则完成这件事共有12mnnn种方法．应用概率统计第10页返回目录组合数从n个不同元素中取(1)rrn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取r个元素的组合数，记为rnC．(1)(1)!!!()!rnnnnrnCrrnr应用概率统计第11页返回目录随机试验E随机事件AnAn()AnAPAn包含的样本点数中的样本点总数示意图示意图求古典概率的分析过程应用概率统计第12页返回目录例用0，1，2，3，4，5这六个数字排成三位数，求（1）没有相同数字的三位数的概率；（2）没有相同数字的三位偶数的概率.解设A={没有相同数字的三位数}B={没有相同数字的三位偶数}则样本点总数566180n百十个566利用计数原理计算古典概率应用概率统计第13页返回目录（1）事件A包含的样本点数为An=5×5×495665455P(A)（2）事件B包含的样本点数为Bn=4×4×2+5×4=52451366552P(B)百十个5百十0百十2百十455444444应用概率统计第14页返回目录试验过程EE1E2En可能结果11,AA22,AA,nnAA1()nkkPAILL事件的概率121312121()()()()nnPAPAAPAAAPAAAALL应用乘法公式解题的分析步骤应用概率统计第15页返回目录例一个盒子中有6只白球，4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取3次，求第三次才取得白球的概率.试验过程EE1：第1次取球E2：第2次取球E3：第3次取球可能结果分析白球或黑球白球或黑球白球或黑球P(第三次才取得白球)=P(第1取得黑球,且第2取得黑球,且第3取得白球)应用概率统计第16页返回目录例一个盒子中有6只白球，4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取3次，求第三次才取得白球的概率.解设事件iA{第i次取得白球}，i=1、2、3123P(AAA)=111223P(A)P(A|A)P(A|AA)4361109810则所求的第三次才取得白球的概率为应用概率统计第17页返回目录应用全概率公式解题的分析过程E1E2可能结果,BB事件的概率12,,,nAAAL1()()()niiiPPAPBAB试验过程E应用概率统计第18页返回目录例某工厂生产的产品以100个为一批，进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，假定每一批产品中的次品最多不超过4个，并且其中恰有i(i=0，1，2，3，4)个次品的概率如下：一批产品中有次品数01234概率0.10.20.40.20.1求各批产品通过检查的概率．应用概率统计第19页返回目录解设事件iA={一批产品中有i个次品}，i=0，1，2，3，4，B={这批产品通过检查}，则4ii0P(B)P(A)P(B|A)i101010109998979610101010100100100100CCCC0.110.20.40.20.1CCCC0.8142E1：抽批产品E2：检查批产品可能结果试验过程E有i个次品通过或未通过分析应用概率统计第20页返回目录应用贝叶斯公式解题的分析过程E1E2可能结果,BB事件的概率12,,,inAAAALL1()()()()()iinjjijPAPBAPPAABPBA试验过程E应用概率统计第21页返回目录例根据对以往考试结果的统计分析，努力学习的学生中有98%的人考试及格，不努力学习的学生有98%的人考试不及格．据调查了解，学生中有90%的人是努力学习的，求考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？E1：学习E2：考试可能结果试验过程E努力或不努力及格或不及格分析应用概率统计第22页返回目录解设A{被调查的学生努力学习}，B{被调查的学生考试及格}，则考试及格的学生是不努力学习的人的可能性为()PAB0.10.020.00230.90.980.10.02()()()()()()PAPBAPAPBAPAPBA应用概率统计第23页返回目录实际问题A与B之间没有关联或关联很微弱A与B相互独立()PAB()()PAPB独立性的判断与应用应用概率统计第24页返回目录例一台自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两部分如有任何一个出现故障，报警器就失灵．若使用一年后，雷达出故障的概率为0.2，计算机出故障的概率为0.1，求这个报警器使用一年后失灵的概率．解因为雷达和计算机是二个不同的系统，故它们是否出故障是不会相互影响的，于是，雷达与计算机工作情况是相互独立的．应用概率统计第25页返回目录设A{雷达出故障}，B{计算机出故障}，则所求事件的概率为()PAB()()PAPB0.20.10.20.10.28()()()PAPBPAB()()PAPB应用概率统计第26页返回目录定理（伯努利定理）在n重伯努利试验中，若每次试验中事件A发生的概率为(01)pp，则在这n次试验中事件A恰好出现(0)kkn次的概率为,1,0,1,,(2),kknknnqPkCpqpkn应用概率统计第27页返回目录考研（2007，4分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p（01p），则此人第4次射击时恰好第二次命中目标的概率为（）.（A）23(1)pp；（B）26(1)pp；（C）223(1)pp；（D）226(1)pp.C中三次中一次应用概率统计第28页返回目录计算概率的主要工具与方法()XPD()(,)YPXD(),1,2,iiPXxpi离散::(,),1,2,;1,2,ijijPXxYypij离散(),pxxR连续:2(,),(,)pxyxyR连续:iDixp()Dpxdx(,)ijxyjDip(,)Dpxydxdy应用概率统计第29页返回目录分布函数(){}FxPXx{}()()PaXbFbFa由分布函数求概率由分布律求概率由密度函数求概率(,]{}{}iixabPaXbPXx{}()baPaXbpxdx),(),(yYxXPyxF{}((,,))DPpxydxdyXYD求由随机变量表示的典型事件的概率应用概率统计第30页返回目录概率函数的非负性：概率函数的规范性：()0px()1pxdx0ijp111ijijp(,)0pxy2(,)1Rpxydxdy概率函数的性质()0PA()1P0ip11iip0()1Fx0(,)1Fxy()1F(,)1F应用概率统计第31页返回目录例设随机变量X的分布函数为0,10.2,12()0.7,241,4xxFxxx(1)求)3(XP,)321(XP及)2(XP；(2)求X的分布律.应用概率统计第32页返回目录解(1)7.0)3()3(FXP5.02.07.0)21()3()321(FFXP(2)1(2)PXPX1(20)F10.20.8应用概率统计第33页返回目录(2)由于000()()(0)PXxFxFx(1)0.200.2PX(2)0.70.20.5PX(4)10.70.3PXX-124P0.20.50.3故X的分布律为应用概率统计第34页返回目录例设随机变量X的密度函数为(1)01()0Axxxpx，　，　　　　其他(1)确定常数A；(2)计算概率112PX.应用概率统计第35页返回目录解由密度函数性质(1)1051()(1)6pxdxAxxdxA　　　　，从而56A.(2)120121101611()0(1)255PXpxdxdxxxdx　　　　　　应用概率统计第36页返回目录例设X是离散型随机变量，其概率分布为X202P0.120.330.55试求2ZX的分布律．求()YgX的分布律应用概率统计第37页返回目录解404Y的概率分布为Y04P0.330.67X2022ZXP0.120.330.55应用概率统计第38页返回目录求()YgX的分布函数与密度函数的一般步骤：(){}{()}YFyPYyPgXy{}()yyXSPXSpxdx()()YYpyFy解出X应用概率统计第39页返回目录提问(1)若0a，YaXb，由Yy推得X.(2)若0a，YaXb，有()ybPYyPXa?yba√(3)若0a，YaXb，由Yy推得X.(4)若0a，YaXb，有()ybPYyPXa?yba√(5)若28yx，由04x推得y.816应用概率统计第40页返回目录提问(1)若()()()uyafypxdx，()fy.(2)若[()]zfvy，dzdy.[()]()puyuydzdvdvdy应用概率统计第41页返回目录例设随机变量X具有概率密度,04()80,Xxxpx其他求随机变量Y=2X+8的概率密度.应用概率统计第42页返回目录解法1用X的密度函数()Xpx表达Y=2X+8的分布函数()YFy.(){}28{}YFyPYyPXyXP于是得Y=2X+8的概率密度为88()22YXyypyp82y82y()Xdxxp应用概率统计第43页返回目录8,816320,yy其他1818,0482220,yy其他88()22YXyypyp应用概率统计第44页返回目录解法2用X的分布函数来表达Y=2X+8的分布函数()YFy.(){}{28}YFyPYyPXyPX于是得Y=2X+8的概率密度为()()88()22YXYXdFydFuduyypypdydudy82y82yXF应用概率统计第45页返回目录()()88()22YXYXdFydFuduyypypdydudy1818,0482220,yy其他8,816320,yy其他应用概率统计第46页返回目录例已知随机变量X的概率