3微分及其运算

主要内容微分的定义；微分的几何意义；求函数的微分；微分在近似计算中的应用.一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.200Ax0x0x,00xxx变到设边长由2()Axx002200()()()AAxxAxxxx.)(220xxx)1()2(,;xA的线性函数且为的主要部分,.xx的高阶无穷小当很小时可忽略:)1(:)2(xx2)(xxx0xx0220()lim0()().xxxxx面积函数再如,30,.yxxxy设函数在点处的改变量为时求函数的改变量3300()yxxx.)()(3332020xxxxx)1()2(,很小时当x02023()3.xyxxxx),()2(xox的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值2320000330()()limlim[()]xxxxxxxxx2303()()()xxxx00(),()xx)1(问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有（可微的条件）?它是什么（微分的定义）?如何求?二、微分的定义（是什么？）定义000000000(),,(),(),(),(()()(,.))xxxxyfxxxxAxyfxxyfxxxdydfxyfxxfxAdyAxoxAxx设函数在某区间内有定义及在这区间内如果成立其中是与无关的常数则称函数在点可微并且称为函数在点相应于自变量增量的微分记作或即.dyy微分叫做函数增量的线性主部(微分的实质)定义的几点说明：;)1(的线性函数是自变量的改变量xdy;)()2(高阶无穷小是比xxodyy;,0)3(是等价无穷小与时当ydyAdyy1()()AxxoxAxAx).0(1x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(,)5(线性主部很小时当dyyx(定理)三、可微的条件(什么样的函数可微？)000()()().fxxAfxfxx函数在点可微,且的充要条件是函数在点处可导定理0000()()()()xxdyfxxfxxyfxxx函数在点可导证(1)必要性,)(0可微在点xxf),(xoxAy,)(xxoAxy000()()limlimxxyoxfxAxx.A).(,)(00xfAxxf且可导在点即函数(2)充分性0(),yfxx即,)(0可导在点函数xxf),(lim00xfxyx0lim0,x且0(),yfxxx从而),0(0x0()(),yfxxox00limlim0,xxxx00(),().fxxfxA函数在点可微且(),,(),().yfxxdydfxdyfxx函数在任意点的微分称为函数的微分记作或即例1解,.yxdy求()1,dyxxxx,yx由于故得.dydxx什么意思？自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:该例说明:xdx()dyfxdx()()dfxfxdx或(),().dydyfxdxfxdx当时有即函数f(x)在点x处的导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商,故导数也可称为微商.例2解213yxxx求函数在和处的微分。2()dyxx2xx2,x1xdy12xxx6.x3xdy32xxx例3解32,0.02.yxxx求函数当时的微分xxdy)(3.32xx2220.020.023xxxxdyxx0.24,,.xxdxdxx通常把自变量的增量称为自变量的微分记作即(.())fxxdyfxdx).(xfdxdy..dydx即函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数导数也叫微商已知函数2)(xxf在点x处的自变量的增量为0.2，对应的函数增量的线性主部是dy=0.8，那么自变量x的始值为____.练习02x解0xxdy02()xxxx02xx00.820.2x四、微分的几何意义)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyox几何意义:(如图)(),()(,)fxxxxyfxxy函数在点处的微分表示为：相应于自变量的改变量曲线在点M的切线上纵坐标的改变量。xx0P,,.xMMNMP切线当很小时在点的附近可近似曲线段代替段导数与微分的区别:000001.()(),()(),,.fxxfxdyfxxxxx函数在点处的导数是一个定数而微分是的线性函数实际上它是无穷小))((limlim0000xxxfdyxxxx.0000000002.,()()(,()),()()()(,()).fxyfxxfxdyfxxxyfxxfxx从几何意义上来看是曲线在点处切线的斜率而微分是曲线在点处的切线方程在点的纵坐标增量★五、微分的求法（如何求?）dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(2212222()ln()11(log)(ln)ln11(arcsin)(arccos)1111(arctan)(cot)11xxxxadaaadxdeedxdxdxdxdxxaxdxdxdxdxxxdxdxdarcxdxxx2.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud3.复合函数的微分法则设，则复合函数的微分为dydydudydxdxdxdudx(),()yfuux[()]yfx即()[()]()[()]()dyfudufxdxfxxdx例4解一sin(21),.yxdy设求(sin)dydu)12()12cos(xdxdxx2)12cos(.)12cos(2dxxcosudu21sin.uxyu设，则利用微分法则解二()[sin(21)]fxx2cos(21)x()dyfxdx.)12cos(2dxxcos(21)(21)xx()sin(21),yfxx利用微分与导数的关系例5解一.,cos31dyxeyx求设13(cos)xdydex1313cos(13)(sin)xxxedxexdx13133cos(sin)xxxedxexdx)(cos)(cos3131xdeedxdyxx13(3cossin).xexxdx解二13()cosxyfxex1313)cos(cos()xxexex1313cossi3nxxexex13cos)()(xexfx13(coss)3inxexx()dyfxdx13(cossi3n).xexxdx练习21.ln(),.xyxedy设求sin,.axyebxdy2.设求答案21.[ln()]xdydxe解一：221()xxdxexe221(12)xxexdxxe2212.xxxedxxe22121.,xxxeyxe解二：.2122dxexxedyxx2.解一：sin()(sin)axaxbxdeedbxsin()cos()axaxbxedaxebxdbx(sin)axdydebxsincosaxaxabxedxbebxdx(cossin).axebbxabxdxsin()cosaxaxbxaedxebbxdx2.解二：()sin(sin)axaxebxebxsincosaxaxaebxbebx(sin)axyebx(cossin).axebbxabx()dyfxdx(cossin).axebbxabxdx六、微分在近似计算中的应用在处理实验数据时，经常会遇到一些比较难算公式。如果直接用公式进行计算，那是很费力的。利用微分有时可以把有些复杂的计算公式用简单的近似公式代替。1、计算函数增量的近似值00()()0,,yfxxfxx若在点处的导数且很小时000()xxxxydyfxx例610.01.cmcmg有一批半径为的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度为估计每只球需用铜多少？分析根据题意可知，要求每只球所需铜的克数，344(10.01),33V即求镀铜部分的体积铜的密度mV而这个运算量是较大的，于是我们想到用微分这个线形主部来近似取代变化量。解,.RV由已知设球的半径为体积为01(),Rcm34,3VR0.01,R324()4,3VRR00RRRRVdV40.010RRVR204RR30.126().cm00RRRRmVdV8.90.1261.12().g练习10,0.05,?半径厘米的金属圆片加热后半径伸长了厘米问面积增大了多少解2,Ar设10,0.05.rr厘米厘米2AdArr2100.052().厘米在计算函数值时,经常会遇到一些比较难算的函数。如果直接用公式进行计算，那是很费力的。利用微分有时可以把难算的函数用容易算的点的函数值求其近似值代替。2、计算函数的近似值0(1)()fxxx求在附近的近似值)()(00xfxxfy.)(0xxf.)()()(000xxfxfxxf)(很小时x三角函数的函数值，可以用在特殊点处的函数值求微分近似代替。例7osin3030利用微分计算的近似值.解()sin,fxx设()cos,()fxxx为弧度0,,6360xx1()sin,662f3()cos,662fosin3030sin()6360sincos6636013223600.5076.练习.0360coso的近似值计算解,cos)(xxf设)(,sin)(为弧度xxxf,360,30xx.23)3(,21)3(ff)3603cos(0360coso3603sin3cos1322360.4924.0(2)()0;fxx求在附近的近似值()(0)(0).fxffx000()()(),fxxfxfxx00,,xxx令常用近似公式()x很小时1(1)11;(2)sin();(3)tan();(4)1;(5)ln(1).nxxxnxxxxxxexxx为弧度为弧度证明,1)()1(nxxf设,)1(1)(11nxnxf.1)0(,1)0(nff()1(0)(0)nfxxffx.1nx(3)()tan,fxx设2()sec,fxx(0)0,(0)1,ff()tan(0)(0)fxxffx.x(5)()ln(1),fxx设1(),1fxx(0)0,(0)1,ff