1000_高中数学竞赛系列讲座数列

=329第1页共9页高中数学竞赛系列讲座——数列（等差数列与等比数列）数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列中最基本的是等差数列与等比数列。所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{an}的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。一、等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)前n项和公式为：(2)从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。在等差数列{an}中，等差中项：，且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。二、等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。等比数列{an}的通项公式是：an=a1·qn-1前n项和公式是：=329第2页共9页在等比数列中，等比中项：，且任意两项am，an的关系为an=am·qn-m如果等比数列的公比q满足0＜∣q∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}若m，n，p，q∈N*，则有：ap·aq=am·an，记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则{Can}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。三、范例例1．设ap，aq，am，an是等比数列{an}中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证：apoaq=amoan证明：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则ap=a1·qp-1，aq=a1·qq-1，am=a1·qm-1，an=a1·qn-1所以：ap·aq=a12qp+q-2，am·an=a12·qm+n-2，故：ap·aq=am+an说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a1+k·an-k=a1·an对于等差数列，同样有：在等差数列{an}中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：a1+k+an-k=a1+an例2．在等差数列{an}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=A.20B.22C.24D28解：由a4+a12=2a8，a6+a10=2a8及已知或得5a8=120，a8=24而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选C例3．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有()A.a1+a101＞0B.a2+a100＜0C.a3+a99=0D.a51=51=329第3页共9页[2000年北京春季高考理工类第(13)题]解：显然，a1+a2+a3+…+a101故a1+a101=0，从而a2+a100=a3+a99=a1+a101=0，选C例4．设Sn为等差数列{an}的前n项之各，S9=18，an-4=30(n＞9)，Sn=336，则n为()A.16B.21C.9D8解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+an-4=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B例5．设等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1＞0，Sn为其前n项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是()。(1995年全国高中联赛第1题)(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21解：∵3a8=5a13∴3(a1+7d)=5(a1+12d)故令an≥0→n≤20；当n＞20时an＜0∴S19=S20最大，选(C)注：也可用二次函数求最值例6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有()(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个[1997年全国高中数学联赛第3题]解：设等差数列首项为a，公差为d，则依题意有()即[2a+(n-1)d]on=2×972(*)因为n是不小于3的自然数，97为素数，故数n的值必为2×972的约数(因数)，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。若d＞0，则d≥1由(*)式知2×972≥n(n-1)d≥n(n-1)故只可能有n=97，(*)式化为：a+48d=97，这时(*)有两组解：若d=0，则(*)式化为：an=972，这时(*)也有两组解。故符今题设条件的等差数列共4个，分别为：49，50，51，…，145，(共97项)1，3，5，…，193，(共97项)97，97，97，…，97，(共97项)1，1，1，…，1(共972=9409项)=329第4页共9页故选(C)例7．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…(第一组)(第二组)(第三组)则1991位于第组中。[1991年全国高中数学联赛第3题]解：依题意，前n组中共有奇数1+3+5+…+(2n-1)=n2个而1991=2×996-1，它是第996个正奇数。∵312=961＜996＜1024=322∴1991应在第31+1=32组中。故填32例8．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为。[1989年全国高中联赛试题第4题]解：设该数为x，则其整数部分为[x]，小数部分为x-[x]，由已知得：x·(x-[x]=[x]2其中[x]＞0，0＜x-[x]＜1，解得：由0＜x-[x]＜1知，∴[x]=1，故应填例9．等比数列{an}的首项a1=1536，公比，用πn表示它的前n项之积，则πn(n∈N*)最大的是()(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13[1996年全国高中数学联赛试题]解：等比数列{an}的通项公式为，前n项和因为故π12最大。选(C)例10．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等=329第5页共9页差数列，那么=。[1988年全国高中联赛试题]解：依题意，有y-x=4(a2-a1)∴；又y-x=3(b3-b2)∴∴例11．设x,y,Z是实数，3x,4y,5z成等比数列，且成等差数列，则的值是。[1992年全国高中数学联赛试题]解：因为3x,4y,5z成等比数列，所以有3x·5z=(4y)2即16y2=15xz①又∵成等差数列，所以有即②将②代入①得：∵x≠0,y≠0,z≠0∴64xz=15(x2+2xz+z2)∴15(x2+z2)=34xz∴例12．已知集合M={x,xy,lg(xy)}及N={0,∣x∣,y}并且M=N，那么的值等于。解：由M=N知M中应有一元素为0，任由lg(xy)有意义知xy≠0，从而x≠0，且y≠0，故只有lg(xy)=0，xy=1，M={x,1,0}；若y=1，则x=1，M=N={0，1，1}与集合中元素互异性相连，故y≠1，从而∣x∣=1，x=±1；由x=1y=1(含)，由x=-1y=-1，M=N={0,1,-1}此时，从而注：数列x，x2，x3，…，x2001；以及在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，故2001并不可怕。例13．已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式()∣Sn-n-6∣＜的最小整数n是()=329第6页共9页(A)5(B)6(C)7(D)8解：[1994年全国高中数学联赛试题]由3an+1+an=4(n≥1)3an+1-3=1-an故数列{an-1}是以8为首项，以为公比的等比数列，所以当n=7时满足要求，故选(C)[注]：数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，…，1和等比数列：的对应项的和构成的数列，故其前n项和Sn可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。例14．设数列{an}的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,…)，数列{bn}满足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,…)求数列{bn}的前n项和。[1996年全国高中数学联赛第二试第一题]解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，∴a1=1①又Sn=2an-1②Sn-1=2an-1-1③②-③得：Sn-sn-1=2an-2an-1∴an=2an-2an-1故∴数列{an}是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2n-1④由⑤∴以上诸式相加，得=329第7页共9页注：本题综合应用了a1-s1，a3=Sn-Sn-1(n≥2)以及等差数列、等比数列求和公式以及叠加等方法，从基本知识出发，解决了较为复杂的问题。选准突破口，发现化归途径，源于对基础知识的深刻理念及其联系的把握。例15．n2个正数排成n行n列a11，a12，a13，a14，…，a1na21，a22，a23，a24，…，a2na31，a32，a33，a34，…，a3na41，a42，a43，a44，…，a4nan1，an2，an3，an4，…，ann。其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等。已知[1990年全国高中数学联赛第一试第四题]解：设第一行数列公差为d，纵行各数列公比为q，则原n行n列数表为：故有：②÷③得，代入①、②得④因为表中均为正数，故q