11-12学年高中数学2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时优化训练新人教A版选修2-1

专心爱心用心-1-2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时优化训练1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)解析：选D.椭圆方程化为标准式y26＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上．∴长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．2．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m的值为()A.3B.32C.83D.23解析：选B.∵焦点在x轴上，∴a＝2，b＝m，c＝a2－b2，∴c＝2－m，e＝ca＝2－m2＝12，∴m＝32.3．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝(5)2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是x24＋y2＝1或y24＋x2＝1.答案：x24＋y2＝1或y24＋x2＝14．已知A为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、F2，且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|＝3∶1，求该椭圆的离心率．解：设|AF2|＝m，则|AF1|＝3m，∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4m.又在Rt△AF1F2中，|F1F2|＝|AF1|2－|AF2|2＝22m.∴e＝2c2a＝|F1F2|2a＝22m4m＝22.一、选择题1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5、3、0.8B．10、6、0.8C．5、3、0.6D．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x29＋y225＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝10,2b＝6，ca＝0.8.专心爱心用心-2-2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是()A.x216＋y29＝1或x29＋y216＝1B.x225＋y29＝1或y225＋x29＝1C.x225＋y216＝1或y225＋x216＝1D．椭圆的方程无法确定解析：选C.a＝5且c＝3，∴b＝4，∴椭圆方程为x225＋y216＝1或y225＋x216＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是()A.x24＋y216＝1或x216＋y24＝1B.x24＋y216＝1C.x216＋y24＝1D.x216＋y220＝1解析：选C.由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是x216＋y24＝1.故选C.4．椭圆x225＋y29＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A．8,2B．5,4C．5,1D．9,1解析：选D.因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.5．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A.22B.32C.53D.63解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，∴ca＝22.6．(2010年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝35或e＝－1(舍去)．二、填空题专心爱心用心-3-7．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c＝5，又2b＝45，所以b＝25，a2＝b2＋c2＝25.答案：x220＋y225＝18．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝ca＝45.答案：459．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a，由2a＝12知a＝6.又e＝ca＝32，故c＝33，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆标准方程为x236＋y29＝1.答案：x236＋y29＝1三、解答题10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴4a2＝1，a＝2，∵2a＝2·2b，∴b＝1，∴方程为x24＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴02a2＋4b2＝1，∴b＝2,2a＝2·2b，∴a＝4，∴方程为y216＋x24＝1.综上所述，椭圆方程为x24＋y2＝1或y216＋x24＝1.(2)由已知a＝2ca－c＝3，∴a＝23c＝3.从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.11．如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐专心爱心用心-4-标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，23b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋49b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝4c2＋49b2＋23b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以b2a2＝49.∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝59，∴e＝53.法二：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则M(c，23b)．代入椭圆方程，得c2a2＋4b29b2＝1，所以c2a2＝59，所以ca＝53，即e＝53.12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长及顶点坐标．解：椭圆方程可化为x2m＋y2mm＋3＝1.因为m－mm＋3＝mm＋m＋30，所以mmm＋3.即a2＝m，b2＝mm＋3，c＝a2－b2＝mm＋m＋3.由e＝32，得m＋2mm＋＝32，解得m＝1.专心爱心用心-5-所以a＝1，b＝12，椭圆的标准方程为x2＋y214＝1.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－12)，B2(0，12)．