11-12学年高中数学第二章综合检测题新人教A版必修4

用心爱心专心-1-第二章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(08·湖北文)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－11[答案]C[解析]∵a＋2b＝(－5,6)，c＝(3,2)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A．λ1B．λ1C．λ－1D．λ－1或－1λ1[答案]D[解析]由条件知，a·b＝λ－10，∴λ1，当a与b反向时，假设存在负数k，使b＝ka，∴λ＝k1＝－k，∴k＝－1λ＝－1.∴λ1且λ≠－1.3．在四边形ABCD中，若AB→·CD→＝－|AB→|·|CD→|，且BC→·AD→＝|AD→|·|BC→|，则该四边形一定是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形[答案]A[解析]由AB→·CD→＝－|AB→|·|CD→|可知AB→与CD→的夹角为180°，∴AB∥CD.用心爱心专心-2-又由BC→·AD→＝|AD→|·|BC→|知BC→与AD→的夹角为0°，∴BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．4．如果两个非零向量a和b满足等式|a|＋|b|＝|a＋b|，则a，b应满足()A．a·b＝0B．a·b＝|a|·|b|C．a·b＝－|a|·|b|D．a∥b[答案]B[解析]由|a|＋|b|＝|a＋b|知，a与b同向，故夹角为0°，∴a·b＝|a|·|b|cos0°＝|a|·|b|.5．(08·湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC→＝2BD→，CE→＝2EA→，AF→＝2FB→，则AD→＋BE→＋CF→与BC→()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直[答案]A[解析]AD→＋BE→＋CF→＝AB→＋BD→＋BC→＋CE→＋BF→－BC→＝AB→＋13BC→＋BC→－23AC→－13AB→－BC→＝23(AB→－AC→)＋13BC→＝23CB→＋13BC→＝－13BC→，故选A.6．在▱ABCD中，已知AC→＝(－4,2)，BD→＝(2，－6)，那么|2AB→＋AD→|＝()A．55B．25C．210D.85[答案]D[解析]设AB→＝a，AD→＝b，则a＋b＝AC→＝(－4,2)，b－a＝BD→＝(2，－6)，∴b＝(－1，－2)，a＝(－3,4)，∴2AB→＋AD→＝2a＋b＝(－7,6)，用心爱心专心-3-∴|2AB→＋AD→|＝(－7)2＋62＝85.7．如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，且E、F分别为AB、CD的中点，则()A.EF→＝12(a＋b＋c＋d)B.EF→＝12(a－b＋c－d)C.EF→＝12(c＋d－a－b)D.EF→＝12(a＋b－c－d)[答案]C[解析]∵EF→＝OF→－OE→＝12(OC→＋OD→)－12(OA→＋OB→)＝12(c＋d)－12(a＋b)，∴EF→＝12(c＋d－a－b)．8．在矩形ABCD中，AE→＝12AB→，BF→＝12BC→，设AB→＝(a,0)，AD→＝(0，b)，当EF→⊥DE→时，求得|a||b|的值为()A．3B．2C.3D.2[答案]D[解析]如图，∵EF→＝EB→＋BF→＝12AB→＋12AD→＝a2，0＋0，b2＝a2，b2.用心爱心专心-4-又∵DE→＝DA→＋AE→＝－AD→＋12AB→＝(0，－b)＋a2，0＝a2，－b，∵EF→⊥DE→，∴a24－b22＝0，∴|a||b|＝2.9．已知向量OA→＝(2,2)，OB→＝(4,1)，在x轴上求一点P，使AP→·BP→取最小值，则P点的坐标是()A．(3,0)B．(－3,0)C．(2,0)D．(4,0)[答案]A[解析]设P(x0,0)，且AP→＝(x0－2，－2)，BP→＝(x0－4，－1)，∴AP→·BP→＝(x0－2)(x0－4)＋2＝x20－6x0＋10＝(x0－3)2＋1，∴x0＝3时，AP→·BP→取最小值．10．(08·浙江理)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.2D.22[答案]C[解析]由(a－c)(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝2，故选C.11．(09·辽宁文)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．12[答案]B[解析]∵a＝(2,0)，∴|a|＝2，用心爱心专心-5-|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×2×1×cos60°＝12，∴|a＋2b|＝23，∴选B.12．设e1与e2为两不共线向量，AB→＝2e1－3e2，BC→＝－5e1＋4e2，CD→＝e1＋2e2，则()A．A、B、D三点共线B．A、C、D三点共线C．B、C、D三点共线D．A、B、C三点共线[答案]A[解析]∵BD→＝BC→＋CD→＝－4e1＋6e2＝－2(2e1－3e2)＝－2AB→，∴AB→∥BD→，∵AB→与BD→有公共点B，∴A、B、D三点共线．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．与向量a＝(－5,12)共线的单位向量为________．[答案]－513，1213和513，－1213[解析]∵|a|＝13，∴与a共线的单位向量为±a|a|＝±－513，1213.14．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是边BC的中点，则AD→·BC→＝________.[答案]52[解析]由已知得AD→＝12(AB→＋AC→)，BC→＝AC→－AB→，∴AD→·BC→＝12(AB→·AC→)·(AC→－AB→)＝12(|AC→|2－|AB→|2)＝12(9－4)＝52.15．已知a＋b＝2e1－8e2，a－b＝－8e1＋16e2，其中|e1|＝|e2|＝1，e1⊥e2，则a·b＝________.[答案]－63[解析]解方程组a＋b＝2e1－8e2a－b＝－8e1＋16e2得，用心爱心专心-6-a＝－3e1＋4e2b＝5e1－12e2，∴a·b＝(－3e1＋4e2)·(5e1－12e2)＝－15|e1|2＋56e1·e2－48|e2|2＝－63.16．已知OA→＝(k,2)，OB→＝(1,2k)，OC→＝(1－k，－1)，且相异三点A、B、C共线，则实数k＝________.[答案]－14[解析]AB→＝OB→－OA→＝(1－k,2k－2)，AC→＝OC→－OA→＝(1－2k，－3)，∵A、B、C三点共线，∴AB→∥AC→，∴(1－k)·(－3)－(2k－2)·(1－2k)＝0，∴k＝1或－14.∵A、B、C是不同三点，∴k≠1，∴k＝－14.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知a＝(1,1)，且a与a＋2b的方向相同，求a·b的取值范围．[解析]∵a与a＋2b方向相同，且a≠0，∴存在正数λ，使a＋2b＝λa，∴b＝12(λ－1)a.∴a·b＝a·12(λ－1)a＝12(λ－1)|a|2＝λ－1－1.即a·b的取值范围是(－1，＋∞)．18．(本题满分12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，(1)ka＋b与a－3b垂直？(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解析](1)ka＋b＝k×(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3×(－3,2)＝(10，－4)．当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由10(k－3)＋(2k＋2)(－4)＝0，解得k＝19.即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．用心爱心专心-7-(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，k－3＝10λ，2k＋2＝－4λ，解得k＝－13，λ＝－13.即当k＝－13时，两向量平行．∵λ＝－13，∴－13a＋b与a－3b反向．19．(本题满分12分)已知a＝3i－4j，a＋b＝4i－3j，(1)求向量a、b的夹角的余弦值；(2)对非零向量p，q，如果存在不为零的常数α，β使αp＋βq＝0，那么称向量p，q是线性相关的，否则称向量p，q是线性无关的．向量a，b是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析](1)b＝(a＋b)－a＝i＋j，设a与b夹角为θ，根据两向量夹角公式：cosθ＝a·b|a||b|＝3－452＝－210.(2)设存在不为零的常数α，β使得αa＋βb＝0，那么3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒α＝0β＝0，所以不存在非零常数α，β，使得αa＋βb＝0成立．故a和b线性无关．20．(本题满分12分)已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F.求证：DP⊥EF.[证明]以A为原点，AB、AD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设正方形边长为1，则AB→＝(1,0)，AD→＝(0,1)．由已知，可设AP→＝(a，a)，并可得EB→＝(1－a,0)，BF→＝(0，a)，EF→＝(1－a，a)，DP→＝AP→－AD→＝(a，a－1)，∵DP→·EF→＝(1－a，a)·(a，a－1)＝(1－a)a＋a(a－1)＝0.∴DP→⊥EF→，因此DP⊥EF.21．(本题满分12分)设直线l：mx＋y＋2＝0与线段AB有公共点P，其中A(－2,3)，B(3,2)，用心爱心专心-8-试用向量的方法求实数m的取值范围．[解析](1)P与A重合时，m×(－2)＋3＋2＝0，∴m＝52.P与B重合时，3m＋2＋2＝0，∴m＝－43.(2)P与A、B不重合时，设AP→＝λPB→，则λ0.设P(x，y)，则AP→＝(x＋2，y－3)，PB→＝(3－x,2－y)．∴x＋2＝λ(3－x)y－3＝λ(2－y)，∴x＝3λ－2λ＋1y＝2λ＋3λ＋1，把x，y代入mx＋y＋2＝0可解得λ＝2m－53m＋4，又∵λ0，∴2m－53m＋40.∴m－43或m52.由(1)(2)知，所求实数m的取值范围是－∞，－43∪52，＋∞.22．(本题满分14分)已知a，b是两个非零向量，夹角为θ，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．(1)求t的值；(2)求b与a＋tb的夹角．[解析](1)|a＋tb|2＝a2＋2ta·b＋t2b2＝|b|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|a|2.∴当t＝－|a|cosθ|b|时，|a＋tb|有最小值．(2)当t＝－|a|cosθ|b|时，b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝|a|·|b|cosθ－|a|cosθ|b|·|b|2＝0.∴b⊥(a＋tb)，即b与a＋tb的夹角为90°.