11.4隐函数存在定理在几何方面的应用

1§11.4.隐函数存在定理在几何方面的应用一、空间曲线的切线与法平面1.设空间曲线C的参数方程是(),(),(),xxtyytzzttI（区间）.它们在区间I可导，且222,()()()0tIxtytzt有（即x(t),y(t),z(t)不同时为0）.取定0tI，对应曲线C上一点00000000(,,)[(),(),()].PxyzPxtytzt任取改变量0t，使0ttI，对应曲线C上另一点10001000(,,)[(),(),()].PxxyyzzPxttyttztt由空间解析几何知，过曲线C上两点01PP与割线方程是000,xxyyzzxyz或000.xxyyzzxyzttt当点1P沿曲线C无限趋近于点0P时，即0t，割线01PP的极限位置就是曲线C上点0P的切线.于是，曲线C上点0P的切线方程是000000()()().()()()xxtyytzztxtytzt切线的方向向量T000[(),(),()]xtytzt称为曲线C在点0P的切向量.一个平面通过空间曲线C上一点0000(,)Pxyz，且与过点0P的切线垂直，称此平面是空间曲线C在点0P的法平面.如图11.4.于是切线的切向量就是法平面的法向量.若在法平面上任取一点(,,)Pxyz，则向量0000(,,)PPxxyyzz与切线的切向量T000[(),(),()]xtytzt垂直，即2000000((),(),())(,,)0.xtytztxxyyzz由向量的内积（向量的数量积）公式，法平面的方程是000000()()()()()()0xtxxytyyztzz或000000()[()]()[()]()[()]0.xtxxtytyytztzzt例1.求螺旋线0cos,sin,3xatyatzbt在t处的切线方程与法线方程.解：sin,cos,.xatyatzb切线方程是cossin333.sincos33xayazbbaa即3322.322azbxyaaba法线方程是330.22223aaaxyabzb2.设三维欧氏空间3R的曲线C是由函数方程组1(,,)0Fxyz，2(,,)0Fxyz上所确定，即曲线C是这两个曲面的交线.在空间曲线C上任取一个定点000(,,)Pxyz，即1000(,,)0Fxyz与2000(,,)0Fxyz.设1(,,)Fxyz与2(,,)Fxyz对,,xyz的偏导数在点P的邻域内都连续，且12(,),(,)PFFxy12(,),(,)PFFyz12(,)(,)PFFzx不同时为零，不防设12(,)0(,)PFFyz.根据§11.1定理4，在点0x某邻域，空间曲线C可表为()yyx与()zzx.于是，空间曲线C可表为以x为参数的参数方程,(),().xxyyxzzx从而，空间曲线C在点P的切线向量是T(1,,)dydzdxdx，下面求,dydzdxdx.由隐函数的求导公式，有31112220,0.FFFdydzxydxzdxFFFdydzxydxzdx解得1212(,)(,)(,)(,)FFdyzxFFdxyz，1212(,)(,)(,)(,)FFdzxyFFdxyz.由切线方程的公式，三维欧氏空间3R曲线C在点000(,,)Pxyz的切线方程是000121212121(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)PPPPxxyyzzFFFFzxxyFFFFyzyz或000121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)PPPxxyyzzFFFFFFyzzxxy.（1）三维欧氏空间3R曲线C在点000(,,)Pxyz的法平面方程是121212000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)PPPFFFFFFxxyyzzyzzxxy.（2）例2.求曲线2226,0xyzxyz在点(1,2,1)P的切线方程与法平面方程.解：222126,.FxyzFxyz1112,2,2,FFFxyzxyz2221,1,1.FFFxyzpzyFF),(),(21=6pxzFF),(),(21=0pyxFF),(),(21=6由公式（1）与（2），曲线在点(1,2,1)P的切线方程与法平面方程分别是4121.606xyz与6(1)6(1)0xz或0.xz二、曲面的切平面与法线1.设三维欧氏空间3R曲面S的方程是(,),(,)zfxyxyD（区域）由§10.3定理3知，若二元函数(,)zfxy在点00(,)xyD可微，则曲面S上点00000(,,)((,))Mxyzzfxy的切平面方程是0000000(,)()(,)()()0,xyfxyxxfxyyyzz即切平面的法向量是n0000(,),(,),1xyfxyfxy.于是，法线方程是0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy2.设曲面S的方程是(,,)0.Fxyz在曲面S上任取一点000(,,)Mxyz，即000(,,)0Fxyz.若三元函数(,,)Fxyz所有的偏导数在点M的邻域连续，且,,FFFxyz在点M不同时为零.设0MFz.根据§11.1定理2，在点00(,)xy的某邻域，曲面S可表为000(,),(,).zfxyzfxy求曲面S上点000(,,)Mxyz的切平面方程.首先求曲面S在点M的法向量n0000(,),(,),1xyfxyfxy.由隐函数求导数公式，有0,0.FFzFFzxzxyzy解得(,),(,).xyFFzzyxfxyfxyFFxyzz由切平面方程公式，曲面S上点000(,,)Mxyz的切平面方程是5000()()()0,MMFFyxxxyyzzFFzz或000()()()0.MMMFFFxxyyzzxyz（3）曲面S上点000(,,)Mxyz的法线方程是000MMMxxyyzzFFFxzy（4）例3.求曲面22223333xyza上在点000(,,)Pxyz的切平面方程与法线方程.解：22223333(,,).Fxyzxyza132,3xFx132,3yFy132.3zFz于是，曲面在点000(,,)Pxyz的切平面方程与法线方程分别是111333000000()()()0xxxyyyzzz与000111333000xxyyzzxyz或111333000000()()().xxxyyyzzz3.设曲面S是参数方程(,),(,),(,)(,)xxuvyyuvzzuvuvD（区域）.取定一点00(,)QuvD，对应曲面S上一点000(,,)Mxyz，即000000000(,),(,),(,).xxuvyyuvzzuv若上述函数组的所有偏导数在点00(,)Quv的邻域都连续，且(,)(,),,(,)(,)QQxyyzuvuv(,)(,)Qzxuv不同时为0.不妨设(,)0(,)Qxyuv.根据§11.1定理3的推论，函数组(,),xxuv(,)yyuv在点00(,)xy邻域存在有连续偏导数的反函数组(,)uuxy，6(,)vvxy.将它们代入(,)zzuv之中，有[(,),(,)].zzuxyvxy求曲面S上点000(,,)Mxyz的切平面方程.首先求曲面S在点M的法向量n0000((,),(,),1)xyzxyzxy.由隐函数的求导法则（注意，z是x，y的函数，而x，y又是u，v的函数），有,.zzxzyuxuyvzzxzyvxvyv解得(,)(,)(,)(,),.(,)(,)(,)(,)yzzxzzuvuvxyxyxyuvuv由切平面方程公式，曲面S在点000(,,)Mxyz的切平面方程是000(,)(,)(,)(,)()()(,)(,)(,)(,)QQQQyzzxuvuvzzyyyyxyxyuvuv或000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)QQQyzzxxyxxyyzzuvuvuv（5）曲面S在点000(,,)Mxyz的法线方程是000.(,)(,)(,)(,)(,)(,)QQQxxyyzzyzzxxyuvuvuv（6）例4.求曲面2233,,xuvyuvzuv在点(0,2)Q对应曲面上的点的切平面方程与法线方程.解：点(0,2)Q对应曲面上的点(2,4,8)P.221,1,2,2,3,3.xxyyzzuvuvuvuvuv70),(),(Qvuzy，12),(),(Qvuxz，4),(),(Qvuyx.由公式（5）与（6），曲面在点(2,4,8)P的切平面方程与法线方程分别是12(4)4(8)0yz或34yz与2480124xyz或248031xyz.