112力的合成与分解

§1.2力的合成与分解1．2．1、力的合成遵循平行四边形法则即力21FF和的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图1-2-1(a)根据此法则可衍化出三角形法则。即：将21,FF通过平移使其首尾相接，则由起点指向末端的力F即21,FF的合力。（如图1-2-1(b)）如果有多个共点力求合力，可在三角形法则的基础上，演化为多边形法则。如图1-2-2所示，a图为有四个力共点O，b图表示四个力矢首尾相接，从力的作用点O连接力4F力矢末端的有向线段就表示它们的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合的，即1F力矢的起步与5F力矢的终点重合，这表示它们的合力为零。力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下三种情况：①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。②已知合力和它的一个分力，求另一个分力。这也有确定的确答。③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可能有三种情况：一解、两解和无解。F1F2FF1F2F(a)(b)图1-2-1F1F2F3F4F1F2F3F4∑FF1F2F3F4F5(a)(b)(c)图1-2-21．2．2、平面共点力系合成的解析法如图1-2-3，将平面共点力及其合力构成力的多边形abcde，并在该平面取直角坐标系Oxy，作出各力在两坐标轴上的投影，从图上可见：xxxyyxxxxxFFFFRFFFFR43214321上式说明，合力在任意一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这也称为合力投影定理。知道了合力R的两个投影xR和yR，就不难求出合力的大小与方向了。合力R的大小为：22yxRRR合力的方向可用合力R与x轴所夹的角的正切值来确定：xyRRtga1．2．3、平行力的合成与分解作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力系。如图1-2-4如果力的方向又相同，则称为同向平行力。两个同向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与ROABF2F1ABOF1F2R(a)(b)图1-2-4xyabcdeORxF1yF4yF3yF2yF1xF2xF3xF4xFyF1F2F3F4RyxyORxR图1-2-3(a)(b)分力平行，合力方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比，如图1-2-4(a)，有：1221FFBOAOFFR两个反向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与合力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比，如图1-2-4(b)，有：21FFR21FFOBOA1．2．4、空间中力的投影与分解力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦，如图1-2-5中的F力在ox、oy、oz轴上的投影X、Y、Z分别定义为coscoscosFZFYaFX这就是直接投影法所得结果，也可如图1-2-6所示采用二次投影法。这时),cos(xFFXxyxy式中xyF为F在oxy平面上的投影矢量，而),sin(ZFFFxyZXYFFxyO图1-2-6YαγβjkizYXZX图1-2-5力沿直角坐标轴的分解式kFjFiFkZjYiXFzyx§1.3共点力作用下物体的平衡1．3．1、共点力作用下物体的平衡条件几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。0iiF或其分量式：0iixF0iiyF0iizF如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1-3-1所示，且满足下式（拉密定理）：sinsinsin321FFF1．3．2、推论F1F2F3图1-3-1物体在n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O点，则最后一个外力的作用线也必过O点，整个外力组必为共点力。这是因为n-1个外力构成的力组为共点（O点）力，这n-1个的合力必过O点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O点。特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面。§1.4固定转动轴物体的平衡1．4．1、力矩力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂(d)。力与力臂的乘积称为力矩，记为M，则M=Fd，如图1-4-1，O为垂直于纸面的固定轴，力F在纸面内。力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴转动没有作用。若力F不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量F⊥和平行于轴的分量F∥，F∥对转动不起作用，这时力F的力矩为M=F⊥d。通常规定绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。1．4．2、力偶和力偶矩一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。FOd图1-4-1F1F2O1r2r图1-4-2如图1-4-2中21,FF即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到FFF21，不难得到，M=Fd，式中d为两力间的距离。力偶矩与所相对的轴无关。1．4．3、有固定转动轴物体的平衡有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。