12-13I概率论与数理统计试卷(A)64学时参考答案

1||||||||装|||||订||||||线||||||||防灾科技学院2012~2013年第一学期期末考试概率论与数理统计试卷（A）参考答案与评分标准使用班级本科64学时班答题时间120分钟题号一二三四总分阅卷教师得分一、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）1、已知4/1)()()(CPBPAP，0)()(BCPABP，8/1)(ACP，则)A(CBP5/8；2、10张彩票中有5张是有奖彩票。从中任意抽取5张，其中至少有两张中奖的概率为126113CCCC151045155105505或CC；3、设离散型随机变量X的概率分布为214181812,1,0,1，，，PX，则)231(XP=1/4；4、假设某潜在震源区年地震发生数X服从参数为2的泊松分布，则未来一年该震源区发生至少一次地震的概率为21e；5、设随机变量X服从区间ba,上的均匀分布，且3XE，34XD，则a=1与b=5；6、设A、B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、B相互独立；7、设n21,,,XXX为来自于总体),(~2NX的简单随机样本，样本均值niiXnX11，样本方差22111niiSXXn==--å（），则2S~/Xn-1)-t(n.二、单项选择题（本大题共7小题，每题3分，共21分）1、一学生接连参加同一资格证的两次考试。第一次及格的概率为1/2.如果第一次及格那么他第二次考试及格的概率也为1/2。如果第一次不及格那么他第二次及格的概率为1/4.如果两次中至少有一次及格他就能取得该资格证，则他取得该资格证的概率为(C)(A)1/8；(B)3/8；(C)5/8；(D)7/8.2、设随机变量X的概率分布律为,2,1,3}{kkXPk，则参数（C）(A)0的任意实数；(B)4；(C)41；(D)21.3、二维随机变量),(YX的联合分布律为1.03.02.012.01.01.00101YX则)1(YXP=（C）(A)0.2；(B)0.3；(C)0.5；(D)1.4、设2,~NX，baXY，其中a、b为常数，且0a，则~Y（D）A.222,babaN；B.222,babaN；C.22,abaN；D.22,abaN.5、对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p，第二台仪器发生故障的概率为2p．令X表示测试中发生故障的仪器数，则XE（A）A.21pp；B.122111pppp；C.211pp；D.21pp.6、设YX,为随机变量）（Y,X的相关系数，则“0,YX”是“Y,X相互独立”的（A）A.必要条件，但非充分条件；B.充分条件，但非必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分条件，也非必要条件．7、设总体X服从参数10的泊松（Poisson）分布，现从该总体中随机选出容量为20一个样本，则该样本的样本均值的方差为（B）A.1；B.5.0；C.5；D.50．阅卷教师得分阅卷教师得分试卷序号：班级：学号：姓名：2三、（本大题共6小题，每题7分，共42分）1、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据：元件厂次品率市场份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，试分析此次品出自何厂的概率最大。解：设A=“取到的一只元件是次品”，iB=“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，i=1,2,3.则12312015080005002001().,().,().,().,().,PBPBPBPABPAB=====3003()..PAB=……………………（2分）于是(1)由全概率公式得11223300125()()()()()()()..PAPABPBPABPBPABPB=++=……………………（2分）(2)由贝叶斯公式得11100201502400125()()..().,().PABPBPBAPA´===222064()()().,()PABPBPBAPA==333012()()()..()PABPBPBAPA==故这只次品来自于第二家工厂的概率最大。……………………（3分）2、设随机变量X具有概率密度0323420,,(),,,.kxxxfxxì?ïïïïï=-＃íïïïïïî其它(1)确定常数k；（2）求X的分布函数()Fx；（3）求712().PX?解：,1d)()1(xxf由,1d)22(d3043xxxkx得16.k=解之得…（2分）126()kX=由知的概率密度03623420,,(),,,.xxxfxxìïï?ïïïïïï=-＃íïïïïïïïïî其它()()dxFxfxx-?=ò由得2023030000030361223432346241414,,,,d,,,,()d()d,,,,,.,.xxxxxxxxxFxxxxxxxxxxxììïïïïïïïïïïï??ïïïï镲==眄镲镲+-?镲-+-?镲镲镲镲³³镲îïîò蝌…（3分）(3)7741112248{}()()PXFF?-=……（2分）3、设随机变量X具有概率密度其它,040,8)(xxxfX，求随机变量Y=2X+8的概率密度。解：28)()28()82()()(yXYdxxfyXPyXPyYPyF…（3分）.0168,32804280,21)28(81)28)(28()(其它，，其它，，，yyyyyyfyfXY…（4分）阅卷教师得分34、盒子里有3只红球，2只白球，在其中不放回任取2次，每次任取1只。定义随机变量，第一次取得白球；，第一次取得红球，10X，，第二次取得白球；，第二次取得红球，10Y，求（1）二维随机变量),(YX的联合分布律；（2）求}{YXP；（3）YX,是否相互独立。解：（1）1034253}0,0{YXP，1034352}0,1{YXP1034253}1,0{YXP，1014152}1,1{YXP………（3分）（2）4.0}1,1{}0,0{)(YXPYXPYXP………………（3分）（3）因为}0{}0{3.0}0,0{YPXPYXP，YX,不相互独立。（1分）5、设随机变量X和Y具有联合概率密度其它,0,6),(2xyxyxf,求边缘概率密度fX(x)、fY(y)和条件概率密度|(|)XYfxy.解：其它,010),(66),()(22xxXxxxdydyyxfxf…………（2分）其它,010),(66),()(yyYyyydxdxyxfyf…………（2分）对01y，10|,(,)()(|)(),XYYyxyfxyyyfxyfyìïïïï-==íïïïïî，其它…………（3分）6、设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为.0,0,0,)(xxexfxX和.0,0,0,2)(2yyeyfyY分别求（1）},max{YXU；（2）},min{VYX的概率密度。解：X和Y的分布函数分别为.0,0,0,1)(xxexFxX和.0,0,0,1)(2yyeyFyY……（3分）（1）},max{UYX，其分布函数为.0,0,0),1)(1()(2maxzzeezFzz,所以概率密度为.0,0,0,32)(32maxzzeeezfzzz…………………………………（2分）（2）},min{VYX，其分布函数为.0,0,0,1)(3minzzezFz,所以概率密度为.0,0,0,3)(3minzzezfz………………………………………………（2分）四、（本大题共2小题，每题8分，共16分。）1、二维随机变量),(YX的具有联合概率密度函数.,010,0,2),(其它xxyyxf求(),(),(),(,)EXDXEYCovXY.解：322)(010xdyxdxXE……………（2分）1200412918()xDXxdxdy=-=蝌……………（2分）100123()xEYdxydy==蝌……………（2分）阅卷教师得分4136(,)()()()COVXYEXYEXEY=-=……………（2分）2、设),,,(21nXXX为来自于总体X的一个样本，总体X密度函数为.0,0,0,1);(xxexfx，其中0为未知参数，试求的矩估计与极大似然估计量。解：（1）011);()(dxexdxxxfXEx,解得1，以1A代替1得，的矩估计是X。…………………………………………（3分）（2）作似然函数.00,,,,1.,00,,,,1);()(21121111，其他其他nxnnxniniixxxexxxexfLniii，……………（2分）当0,,,21nxxx时,niixneL111)(,取对数得niixnL11ln)(ln,求导niixndLd121)(ln,……………（2分）令其等于零解得xˆ。……………（1分）