123高二数学选修1-1(文)结业_考试教师卷

1第一学期期末考试高二数学（选修1－1）考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共20个小题，考试时间120分钟，试卷满分100分.一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填写在答题卷中相应的表格内.1.椭圆22145xy+=的一个焦点坐标是（D）A.（3，0）B.（0，3）C.（1，0）D.（0，1）2.给出下列四个语句：①两条异面直线有公共点；②你是师大附中的学生吗？③x∈{1，2，3，4}；④方向相反的两个向量是共线向量.其中是命题的语句共有（C）A.4个B.3个C.2个D.1个3.给出下列五个导数式：①43()4xx¢=；②(cos)sinxx¢=；③(2)2ln2xx¢=；④1(ln)xx¢=-；⑤211()xx¢=.其中正确的导数式共有（A）A.2个B.3个C.4个D.5个4.“a＜1”是“11a”的（B）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()(1)xfxxe=-的单调递增区间是（A）A.[0，＋∞）B.[1，＋∞）C.（－∞，0]D.（－∞，1]6.下列命题的逆命题为真命题的是（C）A.正方形的四条边相等B.正弦函数是周期函数C.若a＋b是偶数，则a，b都是偶数D.若x＞0，则|x|＝x7.过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝（B）A.6B.8C.10D.148.给出下列两个命题：命题p：2是有理数；命题q：若a＞0，b＞0，则方程221axby+=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（D）A.p∧qB.p∨qC.(﹁p)∧qD.(﹁p)∨q9.设a为非零常数，若函数3()fxaxx=+在1xa=处取得极值，则a的值为（C）A.3-B.3C.－3D.310.设点A为双曲线221124xy-=的右顶点，则点A到该双曲线的一条渐近线的距离是（A）A.3B.3C.32D.322二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卷中相应题次后的横线上.11.命题“若a＞2，则a2＞4”的逆否命题可表述为：若a2≤4，则a≤2.12.抛物线y2＝－12x的准线方程是x＝3.13.设某物体在时间t秒内所经过的路程为s，已知2443(0)sttt=+-?，则该物体在第2秒末的瞬时速度为20m/s.14.曲线sinxyx=在点M(π，0)处的切线的斜率是1p-.15.已知动点M分别与两定点A(1，0)，B(－1，0)的连线的斜率之积为定值m(m≠0)，若点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去点A、B)，则m的取值范围是（－1，0）；若点M的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A、B)，则m的值为3.三、解答题：本大题共5小题，共40分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分6分)已知含有量词的两个命题p和q，其中命题p：任何实数的平方都大于零；命题q：二元一次方程2x＋y＝3有整数解.（Ⅰ）用符号“”与“$”分别表示命题p和q；（Ⅱ）判断命题“(﹁p)∧q”的真假，并说明理由.【解】（Ⅰ）命题p：x∈R，x2＞0；（1分）命题q：$x0∈Z且y0∈Z，2x0＋y0＝3.（3分）（Ⅱ）因为当x＝0时，x2＝0，所以命题p为假命题，从而命题﹁p为真命题.（4分）因为当x0＝2，y0＝－1时，2x0＋y0＝3，所以命题q为真命题.（5分）故命题“(﹁p)∧q”是真命题.（6分）17.(本小题满分8分)已知函数21()3ln22fxxxx=-+.（Ⅰ）确定函数()fx的单调区间，并指出其单调性；（Ⅱ）求函数()yfx=的图象在点x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.【解】（Ⅰ）2233223()2(0)xxxxfxxxxxx-+--¢=-+==-.（1分）由()0fx¢，得x2－2x－3＜0，即(x＋1)(x－3)＜0，所以0＜x＜3.（2分）由()0fx¢，得x2－2x－3＞0，即(x＋1)(x－3)＞0，所以x＞3.（3分）故()fx在区间(0，3)上是增函数，在区间(3，＋∞)上是减函数.（4分）（Ⅱ）因为(1)3124f¢=-+=，13(1)222f=-+=，（5分）所以切线的方程为34(1)2yx-=-，即542yx=-.（6分）从而切线与两坐标轴的交点坐标为5(0,)2-和5(,0)8.（7分）故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积1552522832S=创=.（8分）318.(本小题满分8分)已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为13.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程.【解】（Ⅰ）设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c.由已知，2a＝12，所以a＝6.（1分）又13ca=，即a＝3c，所以3c＝6，即c＝2.（2分）于是b2＝a2－c2＝36－4＝32.（3分）因为椭圆的焦点在x轴上，故椭圆的标准方程是2213632xy+=.（4分）（Ⅱ）法一：因为a＝6，所以直线l的方程为x＝－6，又c＝2，所以右焦点为F2(2，0).（5分）过点M作直线l的垂线，垂足为H，由题设，|MF2|＝|MH|－4.设点M(x，y)，则22(2)(6)42xyxx-+=+-=+.（6分）两边平方，得222(2)(2)xyx-+=+，即y2＝8x.（7分）故点M的轨迹方程是y2＝8x.（8分）法二：因为a＝6，c＝2，所以a－c＝4，从而椭圆左焦点F1到直线l的距离为4.（5分）由题设，动点M到椭圆右焦点的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以点M的轨迹是以右焦点为F2(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线.（7分）显然抛物线的顶点在坐标原点，且p＝|F1F2|＝4，故点M的轨迹方程是y2＝8x.（8分）19.(本小题满分8分)某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为2(60)xx万元，并且技改投入比率(0,5]60xx.（Ⅰ）求技改投入x的取值范围；（Ⅱ）当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？【解】（Ⅰ）由05600xxx006060005050(60)5xxxxxxx.（3分）故技改投入x的取值范围是(0，50].（4分）（Ⅱ）设223()(60)60fxxxxx，(0,50]x.则2()12033(40)fxxxxx.（5分）由()0fx，得040x；由()0fx，得4050x.（6分）F2xyOF1MlH4所以()fx在区间（0，40]内是增函数，在区间[40，50]内是减函数，从而当x＝40时()fx取最大值.（7分）又2(40)(6040)4032000f，故当技改投入40万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为32000万元.（8分）20.(本小题满分10分)已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，过左焦点F1作倾斜角为30°的直线l，交双曲线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点，且AF2⊥x轴，如图.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）若|AB|＝16，求双曲线的标准方程.【解】（Ⅰ）设双曲线方程为22221(0,0)xyabab-=.由已知∠AF1F2＝30°，∠AF2F1＝90°.（1分）在Rt△AF2F1中，121|FF|43|AF|ccos303==o，21223|AF||FF|tan30c3==o.（3分）因为|AF1|－|AF2|＝2a，所以4323cc233a-=，即3c3a=，所以3cea==.（5分）（Ⅱ）因为3ca=，所以22222bcaa=-=，从而双曲线方程化为222212xyaa-=，即22222xya-=.（6分）因为右焦点为F2(3a，0)，则直线l的方程为3(3)3yxa=+.代人双曲线方程，得22212(3)23xxaa-+=，即2252390xaxa--=.（7分）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则21212239,55xxaxxa+==-.（8分）所以2221212121212362||||1()4332553aaABxxxxxx=-?=+-?+?83216535aa=?.（9分）因为|AB|＝16，所以a＝5，从而22250ba==.故双曲线方程是2212550xy-=.(10分)ABF1F2xyO叶