12第八章二元一次方程组第12小节

【本讲教育信息】一.教学内容：第八章：二元一次方程组第1、2小节二.教学要求（一）了解二元一次方程、方程组、方程组的解、解方程组等概念，会检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解；（二）掌握用代入法、加减法解二元一次方程组的基本方法，了解消元是解二元一次方程组的基本思想，并会解简单的三元一次方程组；了解把“三元”转化为“二元”，把“二元”转化为“一元”，化“未知”为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法。三.重点及难点（一）重点1、二元一次方程（组）的概念，二元一次方程（组）的解的意义；2、二元一次方程组的解法──代入法、加减法。（二）难点灵活运用代入消元法和加减消元法解方程组。【知识要点】1、二元一次方程含有两个未知数，并且含未知数的项的次数为1的方程叫做二元一次方程，如、等。注意：（1）方程中的“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；（2）含有未知数的项（单项式）的次数是1，而不是两个未知数的次数都是1；（3）二元一次方程的左边和右边都是整式。二元一次方程的一般形式是（），任何一个二元一次方程经过整理都可以化为一般形式。2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个（组）解。如当＝1，＝1时，方程左右两边的值相等，我们就把＝1，＝1叫做方程的一个解，记做。注意：（1）二元一次方程的每一个（组）解都是一对数值，而不是一个数值，用大括号“{”表示；（2）一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。但如果对其未知数的取值附加某些条件时，那么也可能只有有限个解。通常求二元一次方程的解的方法是先用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，如求的解，可先将其变形为，然后给出的一个值，就能对应地求出的一个值，这样得到的每一对对应值，都是二元一次方程的解。如＝1，代入得＝3。当要求用表示时，则把含有的项放在等式的左边，其余项放在等式右边，再依据等式的性质，把的系数化为1。3、二元一次方程组一般地，把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组，如注意：（1）二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数也可以超过2个，其中有的方程可以是一元一次方程，如、、等都是二元一次方程组。（2）方程组的各方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。4、二元一次方程组的解（1）使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解）叫做二元一次方程组的解；如是方程和的公共解，所以它们就是方程组的解。注意：①方程组的解满足方程组的每个方程②二元一次方程组的解一般只讨论惟一解的情形，但实际上二元一次方程组的解也有多种可能，对于方程组（其中不同时为0，不同时为0）如果时，方程组有唯一解；如果时，方程组无解；如果时，方程组有无数解。③方程组的解也要用大括号“{”表示。（2）检验一对数是不是某个二元一次方程组的解要判断运算结果是否正确，可以进行检验，即将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程，观察方程的左、右两边的值是否相等。5、用代入法解二元一次方程组由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。代入消元法是最常见的消元手段之一，目的是把多元的方程组逐步转化为一元方程。一般步骤：（1）从方程组中选定一个系数比较简单的方程（一般系数是整数且绝对值较小，形式简单的方程），将这个方程变形成用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的关系式；（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将这个求得的未知数的值，再代入关系式求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“{”连起来，就是方程组的解。注意：不要把步骤（2）中所说的（或）代入变形的原方程，否则将得到一个恒等式。技巧：（1）观察方程组未知数的系数，选择系数为1（或－1）的方程进行变形比较简单；（2）当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，可进行整式代入；（3）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程（或），求出另一个未知数的值比较简单。6、用加减法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数相反或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将这个求得的未知数的值，代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来。【典型例题】例1.写出二元一次方程的所有非负整数解。分析：为了便于观察，求解方便，先将原方程变形为，由于题中要求的解都限定于非负整数解，所以、的值必须是非负整数解，要不重不漏。解答：将原方程变形，得，由得，，、的值都是非负整数解，故。又∵要被2整除，所以须是奇数，。当时，∴方程的所有非负整数解是：。说明：抓住“二元一次方程的解是非负整数”这一特殊要求，展开思考。例2.判断下列各组数是不是二元一次方程组的解。（1）（2）分析：将每对数值分别代入原方程组中的两个方程，既满足方程（1），又满足方程（2）的就是原方程组的解，否则就不是。解答：（1）把代入方程（1）得左边＝2×7－7＝7，右边＝5因为左边右边所以不满足方程（1），所以不是原方程组的解。（2）把代入方程（1）得左边＝2×3－1＝5，右边＝5因为左边＝右边，所以是方程（1）的解；把代入方程（2）得左边＝3×3+1＝10，右边＝10因为左边＝右边，所以是方程（2）的解；所以是方程组的解。例3.解方程组（1）（2）分析：在第一个方程组中，方程（1）与（2）中未知数的系数的绝对值都可以化为18，（1）×2，同时（2）×3就可以使未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程的两边分别相加而消去未知数。对于第二个方程组，形式比较复杂时，应先化简，如去分母、去括号、合并同类项等，化成一般形式再做。解答：（1）（1）×2，得，（3）（2）×3，得，（4）（3）+（4），得，∴把代入（1），得，，∴∴原方程组的解为（2）由（1），得，（3）由（2），得，（4）由（4），得，（5）把（5）代入（3），得，解出把代入（5），得∴所以原方程组的解是说明：第一个方程组用的是加减法消元，第二个方程组用的是代入法消元，注意书写格式。例4.已知与互为相反数，求、的值。分析：与互为相反数，可知+=0，由平方的意义和绝对值可知≥0，≥0，由+=0，可知，即，可求、的值。解答：由题意可知+=0，∴，即解得例5.已知方程组和方程组的解相同，求的值。分析：∵方程组和方程组的解相同，∴的解同样满足和，从而解关于的二元一次方程组求的值。解答：解方程组，得把分别代入和，得，解得。所以当时，。例6.当满足什么条件时，方程组有惟一解？无解？无数解？分析：对于方程组（其中不同时为0，不同时为0）如果时，方程组有唯一解；如果时，方程组无解；如果时，方程组有无数解。解答：当，即时，方程组有唯一解；当，即且时，方程组无解；当，即时，方程组有无数解。例7.解方程组分析：该方程组中，未知项系数都为1，消去哪个未知数都可以，关键是目标要始终如一。解答：解法1消去，，得，（4）解（1）、（4）组成的方程组，解得，把代入（2），得，∴。∴原方程组的解为。解法2，得，即，，得；，得；，得；∴原方程组的解为。说明：因三个未知数地位相同，故有解法2的这种解法。例8.已知，求的值。分析：本题用一个未知数表示另外两个未知数，代入所求代数式，最后消元即可求值。解答：根据已知条件，得，得，故【小结】1、了解二元一次方程的概念，理解二元一次方程的解的含义；2、了解二元一次方程组及其解的意义；3、会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，体会“转化”的思想方法；4、二元一次方程组解的情况。【模拟试题】（答题时间：30分钟）一.填空题1、已知是二元一次方程，则2、写出二元一次方程的所有正整数解3、已知，用含的代数式表示；用含的代数式表示。4、如果是方程组的解，那么，5、方程组的解是6、已知与是同类项，则，7、已知，则的值是二.解方程组8、9、10、11、【试题答案】1、2、3、4、5、6、7、08、9、10、11、