131函数的单调性与导数教案

-1-§1.3.1函数的单调性与导数【教学目标】1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。【教学重点】利用导数判断函数单调性。【教学难点】利用导数判断函数单调性。【内容分析】以前，我们用定义来判断函数的单调性．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数。在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。【教学过程】一、复习引入1．常见函数的导数公式：0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos．2．法则1)()()]()(['''xvxuxvxu．法则2[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux．法则3'2''(0)uuvuvvvv．3．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且xuxuyy'''或f′x((x))=f′(u)′(x)．4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．5．对数函数的导数：xx1)'(ln奎屯王新敞新疆exxaalog1)'(log．6．指数函数的导数：xxee)'(；aaaxxln)'(．二、讲解新课1．函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0321fx=x2-4x+3xOyBA-2-值随着x的增大而增大，即/y0时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x)．②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间。③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间。三、讲解范例例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2．令2x－2＞0，解得x＞1．∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．令2x－2＜0，解得x＜1．∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．例3证明函数f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数．证法一：（用以前学的方法证）证法二：（用导数方法证）∵f′(x)=(x1)′=(－1)·x－2=－21x，x＞0，∴x2＞0，∴－21x＜0．∴f′(x)＜0，∴f(x)=21x在(0，+∞)上是减函数。点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间．解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)21fx=x2-2x+4xOy21fx=2x3-6x2+7xOy-3-令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜52．∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，52)令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞52且x≠1．∵1x为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(52，+∞)125fx=x21-x3xOy例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x．分析：假设令f(x)=e2x－1－2x．∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明。证明：令f(x)=e2x－1－2x．∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数。∵f(0)=e0－1－0=0．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0．∴1+2x＜e2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。例6已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间。解：y′=(x+x1)′=1－1·x－2=222)1)(1(1xxxxx令2)1)(1(xxx＞0．解得x＞1或x＜－1．∴y=x+x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)．令2)1)(1(xxx＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1．-22-11fx=x+1xxOy-4-∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)．四、课堂练习1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2．∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4．∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－31)=－3(x+33)(x－33)令－3(x+33)(x－33)＞0，解得－33＜x＜33．∴y=x－x3的单调增区间是(－33，33)．令－3(x+33)(x－33)＜0，解得x＞33或x＜－33．∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞)2．讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间．解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b,令2ax+b＞0，解得x＞－ab2∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞)令2ax+b＜0，解得x＜－ab2．∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－ab2)3．求下列函数的单调区间(1)y=xx2(2)y=92xx(3)y=x+x(1)解：y′=(xx2)′=2222xxxx-5-∵当x≠0时，－22x＜0，∴y′＜0．∴y=xx2的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞)(2)解：y′=(92xx)′222)9(29xxxx222222)9(9)9(9xxxx当x≠±3时，－222)9(9xx＜0，∴y′＜0．∴y=92xx的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞)．(3)解：y′=(x+x)′12112121xx．当x＞0时x21+1＞0，∴y′＞0．∴y=x+x的单调增区间是(0，+∞)．五、小结f(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f′(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数六、课后作业