14.2 勾股定理的应用(2) 修订版教案

勾股定理的应用（2）教学目标知识与技能：准确运用勾股定理及逆定理．过程与方法：经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决．情感态度与价值观：培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值．重点、难点、关键重点：掌握勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．关键：应用数形结合的思想，从实际问题中，寻找出可应用的Rt△，然后再有针对性解决．教学准备教师准备：投影仪，补充资料制成投影片，直尺、圆规．学生准备：直尺、圆规，复习前面知识．教学过程一、创设问题情境，激发学生兴趣展示投影教师道白：在一棵树的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？评析：如图所示，其中一只猴子从D→B→A共走了30m，另一只猴子从D→C→A也共走了30m，且树身垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决．教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生分析问题、明确题意，用化归的思想解决问题．学生活动：积极思考，讨论，运用数学手段来理出思路，解决问题．解：设DC=xm，依题意得：BD+BA=DC+CACA=30-x，BC=10+x在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2即（30-x）2=202+（10+x）2=5所以树高为15m．媒体使用：投影显示．二、范例学习例3如课本P59图14．2．5在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．ADCBA教师活动：分析例3，本题只需要利用勾股定理看一看哪一个矩形的对角线满足要求．如课本图14．2．6可以求出AB的长度为22，△ABC，△ABD是等腰三角形，因为由勾股定理可以求得AC=2231=10，BC=2231=10，AD=BD=10，所以AC=BC，AD=BD．学生活动：参与例3的学习，动手画图，交流、讨论，弄清理由．例4如课本P59图14．2．7，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，求图中阴影部分的面积．ADCB教师分析：课本图14．2．7中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此，我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形式，这是方向，同学们要记住．实际上S阴=S△ABC-S△ACD，现在只要明确怎样计算S△ADC和S△ABC了，由题目中的条件可知CD=6m，AD=8m，而∠ADC=90°，因此，S△ADC=12×AD×CD=24m2，由BC=24m，AB=26m，是无法计算S，但是，我们可以求出AC=10m，而102+242=262，说明10，24，26是一组勾股数，可以推出∠ACB=90°（勾股逆定理），因此，S△ABC=12AC·BC=120m2，最后可求出S阴=96m2．评析：这题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则化成规则”；二是求面积中，要注意其特殊性．学生活动：参与讲例，积极思考，提出自己的看法，归纳总结解题思路．三、随堂练习课本P60练习第1，2题．探研时空：1．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上任意一点．求证：2AD2=BD2+CD2AEDCB思路点拨：要证的结论中，AD，BD，CD都是平方项，而勾股定理中能找到有关线段的平方项，因此，应该构造直角三角形，由勾股定理中去寻找答案．作AE⊥BC于E，则BE=CE=AE，BD=BE+ED，CD=CE-ED，则BD2+CD2=（BE+ED）2+（CE-ED）2，然后，通过一系列代数变换，可证得结论．教师活动：分析思路，讲清方法，特别是如何作辅助线，为什么这么做辅助线做出分析，实际上是为了构建直角三角形，利用勾股定理，才作的辅助线．证明：如图所示，作AE⊥BC于E．∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BE=CE=AE∴BD2+CD2=（BE+ED）2+（CE-ED）2=BE2+2BE·ED+ED2+CE2-2CE·ED+ED2=2AE2+2DE2=2AD2学生活动，小组合作，讨论．听取教师的启发，完成本道题．评析：这是一道通过引辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理的典型题目，从求证结论的需要，应作BC上的高，而从已知条件看，等腰三角形的首选辅助线也是应在BC上做高线，可见，对典型辅助线的作用一定要予以高度重视，可以说这是“经验辅助线”．蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到了D点，蚂蚁一共爬行了多少cm？（图中小方格）思路点拨：由勾股定理分别求得AB，BC，CD的长，则折线的长为28cm．教师活动：先独立思考，然后在班上交流，最后得到正确的结论．媒体使用：投影显示“探研时空”，展示学生的练习．教学形式：师生互动，生生互动．3．如图所示，小明为了测出电视塔到学校的距离，他把手表的12点指向正北，此时学校在2点所指的方向，电视塔在11点所指的方向，水塔在正东方向，且位于学校正南2000米处，已知电视塔距小明3000米，那么电视塔距学校多远呢？教师活动：操作投影仪，显示题目，引导学生独立思考，巡视，关注“学困生”．学生活动：先独立思考，再与同伴交流，踊跃上讲台“板演”．媒体使用：投影显示．参考答案：电视塔距学校5000米．四、课堂总结此课时是运用勾股定理和判定直角三角形的勾股逆定理来解决实际问题，解决这类问题的关键是画出正确的图形，通过数形结合，构造直角三角形，碰到空间曲面上两点间的最短距离问题，一般是化空间问题为平面问题来解决，即将空间曲面展开成平面，然后利用勾股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问题，通常应用化归思想，将不规则问题转换成规则问题来解决．解题中，注意辅助线的使用，特别是“经验辅助线”的使用．五、布置作业1．课本P60习题14．2第4，5，6题．2．选用课时作业设计．六、课后反思（略）第二课时作业设计一、填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，中线BE=13，另一条中线AD2=331，则AB=______．2．在△ABC中，AC=8cm，∠C=30°，BC=6cm，则S△ABC=_____．3．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD=3cm，则它的周长为_______．4．为了作出长为10的线段，可以作一个直角三角形，使其一条直角边的长为1，另一条直角边的长为________．5．从张村到李村、王村的公路都是笔直的，并且成90°角，到这两个村庄的距离都是1千米，从李村到王村的距离大约是_______．（精确到0.1千米）6．如果a2+b2=c2，那么（ka）2+（kb）2=（________）2，由此，并由勾股定理的逆定理知，如果三边长分别为a，b，c的三角形是直角三角形，并且三边长分别为ak，bk与____的三角形也是直角三角形．7．△ABC中，如果AC=3，BC=4，AB=5，那么，△ABC一定是_____角三角形，并且可以判定∠_____是直角，如果AC，BC的长度不变，而AB的长度由5增大到5.1，那么原来的∠C被“撑成”的角是______角．二、选择题8．分别以下列四组为一个三角形的三边的长：（1）6，8，10；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）7，8，9其中能构成直角三角形的有（）．A．四组B．三组C．二组D．一组9．等腰三角形底边上高是8，周长为32，则这个等腰三角形的面积为（）．A．56B．48C．40D．30三、解答题10．求出下列直角三角形中未知边的长度，如图（a～b）所示．．如图所示，太阳能热水器的支架AB长为90cm，与AB垂直的BC长120cm，太阳能真空管AC有多长？12．如图所示，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长．13．一艘轮船以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘轮船在同地同时以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口1.5小时后相距多远？14．如图所示，在3米高的柱子顶端有一只老鹰，它看到一条蛇从距柱脚9米外向柱脚的蛇洞游来，老鹰立即扑去，如果它们的速度相等，问老鹰在距蛇洞多远处捉住蛇？15．如图所示，正方形ABCD的边长为4，正方形ECFG的边长为8，求阴影部分的面积和周长．（精确到0.1）16．如图所示，起重机吊运物体，已知BC=6m，AC=18m，求AB的长．（精确到0.1m）．要修一个如图所示的育苗棚，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．（精确到0.1m2）18．如图所示，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系呢？你能说一说你的判断吗？与同伴交流．答案:一、1．202．12cm23．18cm4．35．1.4千米6．kckc7．直C钝二、8．B9．B三、10．101211．利用勾股定理12．AB=413．相距30海里14．4米15．利用勾股定理16．运用勾股求AB=22ACBC17．利用勾股求塑料薄膜的宽18．两直角边上的半圆面积之和等于斜边上半圆面积．