14第十四讲 曲面积分与高斯公式

1泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第十四讲曲面积分与高斯公式课时数4教学目的通过教学使学生掌握两类曲面积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握高斯公式及曲面积分与路径无关的条件重点难点1．重点两类曲面积分的计算方法；2．难点高斯公式及补面法。教学提纲第十四讲曲面积分与高斯公式1.第一类曲面积分(1)问题的提出，第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关(2)第一类曲面积分的计算--------代入法2.第二类曲面积分(1)问题的提出:第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号(2)计算--------代入法(3)高斯公式DDRdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxp补面法(4)曲面积分与积分路径无关问题(5)奇点的处理方法。2教学过程与内容教学后记第十四讲曲面积分与高斯公式一、.第一类曲面积分1．问题的提出设有一块光滑的金属曲面S。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)s处密度为f（x,y,z），并设f在S上连续,则金属曲面S的质量MSdszyxf),,(说明:第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关2．第一类曲面积分的计算(代入法)设S是一个光滑曲面，S的方程是Z=f(x,y),dxdyzzyxzyxfdszyxfDyxs221)),(,,(),,(当f1时可得空间曲面面积的计算公式，即dxdyzzSDyx221例1：I=dsyxs22,S是半球面2222Rzyx（0z）。【解】222yxRz,222:,),(RyxDDyx222yxRxxz,222yxRyyz22222)()(1yxRRyzxz2002222222221RDsrdrrRrdRdxdyyxRRyxdsyx=232R例2：P为椭球面S:1222yzzyx的动点，若S在P处的切平面与xoy面垂直。（１）求点Ｐ的轨迹Ｃ；（２）计算dSyzzyzyxI442)3(22，其中为椭球面位于Ｃ上方的部分。二、第二类曲面积分1．问题的提出磁通量问题。表示RdxdyQdzdxPdydz【说明】第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号32．第二类曲面积分计算(代入法)RdxdyQdzdxPdydz用代入法计算时,一般应分成三个计算:①xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[(),,(（如果曲面积分取的上侧取号，如果曲面积分取的下侧取-号）.类似有②xyDdydzzyzyxPdydzzyxP)],),,([(),,(（如果曲面积分取的前侧取号，如果曲面积分取的后侧取-号）。③xyDdzdxzxzyxRdzdxzyxQ]),,(,[(),,(（如果曲面积分取的右侧取号，如果曲面积分取的左侧取-号）.例3:计算曲面积分zdxdyxydzdxdydzxz2)(2，其中是圆面,122yx0z下侧。【分析】由于在上，0,0dzz进而，所以22)2()2(2)(2Ddxdydxdyzdxdyzxydzdxdydzxz【点评】本题展示的化简积分的方法是非常重要的。例4:计算曲面积分zdxdydydzxz)(2，其中是旋转抛物面)(2122yxz介于平面0z及2z之间的下侧【分析】zdxdydydzxzzdxdydydzxz)()(22zdxdy可直接代公式计算,而dydzxz)(2需要分成前后两部分分别计算.【解】（略）3．高斯公式设D是R3内的一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成，方向是外侧（相对于区域D而言）。又设函数P，Q，R都在D内关于x,y,z有连续偏导数，则下列高斯公式成立：4DDRdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxp由Gauss公式可计算某些空间立体积分V=DDzdxdyydzdxxdydzdxdydz31例5：计算Sdxdyzdzdxydydzx333,式中S为球面2222azyx的内侧【解】由高斯公式知Sdxdyzdzdxydydzx333VdVzyx)(3222dddasin340020ddda40020sin3=55051251)cos(23aa例6：计算曲面积分23,Ixzdydzzydzdxxydxdy其中为曲面221(01)4yzxz的上侧。【分析】（补面法）本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【解】补充曲面：221:1,04yxz，取下侧.则123Ixzdydzzydzdxxydxdy123xzdydzzydzdxxydxdy=(2)3Dzzdxdydzxydxdy其中为与1所为成的空间区域，D为平面区域2214yx.由于区域D关于x轴对称，因此30Dxydxdy.又(2)3zzdxdydzzdxdy=1100332(1).zDzdzdxdyzzdz5其中zD22:14yxz.【评注】（1）注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂。（2）本题中的三重积分计算用“先二后一”法，若用“先一后二”法计算量是大的例7：计算0,:,2222aazyxSzdxdyydzdxxdydzS外侧。【分析】该题zRyQxP1,1,1，它们在S所包围的区域内不连续(在原点没定义，偏导数不存在)，所以不能用高斯公式。【解】SSSSzdxdyydzdxxdydzzdxdyydzdxxdydz由积分表达式及S的对称性知SSSzdxdyydzdxxdydz所以SSzdxdyzdxdyydzdxxdydz3记上半球（上侧）为S上，记下半球（下侧）为S下DSDSSyxadxdyyxadxdyzdxdyzdxdyzdxdy222222下上=2Dyxadxdy222adrrarda4220022所以azdxdyydzdxxdydzS124.曲面积分与积分路径无关问题设G是空间二维单连通区域，函数),,(zyxP、),,(zyxQ、),,(zyxR在G内具有一阶连续偏导数，则曲面积分RdxdyQdzdxPdydz在G内与所取曲面无关而只取决于的边界曲面(或沿G内任一闭曲面的曲面积分为6零)的充分必要条件是等式0zRyQxP在G内恒在成立。例8：设对于半空间x0内任意．．的光滑有向封闭曲面S，都有sxzdxdyedzdxxxyfdydzxxf2)()(＝０，其中f在（０，＋∞）内具有一阶连续导数，且)0(f＝１，求)(xf．【解】由于对于半空间x0内任意．．的光滑有向封闭曲面S，都有sxzdxdyedzdxxxyfdydzxxf2)()(＝０，所以0)())(())((2zzeyxxyfxxxfzRyQxpx＋＋即0)()()(2xexxfxfxxf解得)1()(xxexexf5.奇点的处理方法定理：设函数),,(zyxP、),,(zyxQ、),,(zyxR在在空间坐标系上除了点Ｐ外都有0zRyQxP，则对任意分段光滑闭曲面，RdxdyQdzdxPdydz是一个定值。例9：计算曲面积分32222,xdydzydzdxzdxdyxyz其中是曲面222224xyz的外侧。【解】,)(,)(,)(232323222222222zyxzRzyxyQzyxxP,)(2,)(2,)(2252525222222222222222222zyxyxzRzyxzxyyQzyxzyxxP在在空间坐标系上除了点原点外都有0zRyQxP则对任意分段光滑闭曲面，RdxdyQdzdxPdydz是一个定值。把曲面换成1222zyx732222,xdydzydzdxzdxdyxyz=4zdxdyydzdxxdydz6.对称性与轮换法例10：设曲面:1xyz，求dSyx|)|(.【解】由于曲面关于平面x=0对称，因此dSx=0.又曲面:1xyz具有轮换对称性，于是dSyx|)|(=dSy||=dSx||=dSz||=dSzyx|)||||(|31=dS3123831=43.3例11：设222{(,,)|1},xyzxyz求dxdydzz2。【解】dxdydzz2=dxdydzx2=dxdydzy2所以dxdydzz2=31dxdydzzyx)(222=31144sin010420ddd