17界希望杯初中数学竞赛第2试试题及参考答案

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题2006年4月16日上午8：30至10：30班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（每小题4分，共40分）1．下列四组根式中，是同类二次根式的一组是（）（A）5.2和5.02（B）aa3和bb3（C）ba2和2ab（D）37cab和abc32．要使代数式342|3|2＋－－－xxx有意义，那么实数x的取值范围是（）（A）1＜x≤5（B）x＜1或x≥5（C）x≤1或x≥5（D）x＜1或x＞53．以线段a＝13，b＝13，c＝10，d＝6为边作梯形，其中a，c为梯形的两底，这样的梯形（）（A）能作一个（B）能作两个（C）能作无数个（D）一个也不能作4．InFig．1，ABCDisaquadrilateral，EisapointonthediagonalBD，EF∥AD，EM∥BC，thenthevalueofBCEMDAEF＋is（）（A）greaterthan1（B）equalto1（C）lessthan1（D）variabledependingonthepositionofE（英汉词典：Fig．figure的缩写，图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value数值；variable变量；todependon取决于；position位置）5．若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m（）（A）是完全平方数，还是奇数（B）是完全平方数，还是偶数（C）不是完全平方数，但是奇数（D）不是完全平方数，但是偶数6．将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的顶点重合，然后剪去纸片的不重合部分，展开纸片，再一次对折，使另外的两个顶点重合，再剪去不重合的部分后展开，此时纸片的形状是（）（A）正方形（B）长方形（C）菱形（D）等腰梯形7．若a，b，c都是大于1的自然数，且ac＝252b，则a的最小值是（）（A）42（B）24（C）21（D）158．Thereisatow－placednumberab＝10a＋bsatisfyingthatab＋baisacompletesquarenumber，thentotalnumberofthoselikeabis（）（A）4（B）6（C）8（D）10（英汉词典：tow－placednumber两位数；number数，个数；tosatisfy满足；completesquare完全平方（数）；total总的，总数）9．下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜，其中歌曲J是新上榜的歌曲，箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，不标注的则表ABCDEFMFig．1明名次没有变化，已知每首歌的名次变化都不超过两位，则上星期排在第1，5，7名的歌曲分别是（）名次12345678910歌曲ABCDEFGHIJ变化情况↑↓↑↓↓↑↑↓新（A）D，E，H（B）C，F，I（C）C，E，I（D）C，F，H10．设n（n≥2）个正整数a1，a2，…，an，任意改变它们的顺序后，记作b1，b2，…，bn，若P＝(a1－b1)(a2－b2)(a3－b3)…(an－bn)，则（）（A）P一定是奇数（B）P一定是偶数（C）当n是奇数时，P是偶数（D）当n是偶数时，P是奇数二、填空题（每小题4分，共40分）11．消防云梯的长度是34米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼16米远的地方，则云梯能达到大楼的高度是________米．12．分式方程411271651231222＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋xxxxxxx的解是x＝__________．13．当m＞0，mxx＝－－＋13，则代数式13－＋＋xx的值是__________（用m表示）．14．计算12862231286223＋－－－－＋＋＋＋，最后得到__________．15．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的94，那么此n边形的内角和为__________．16．某种球形病毒，直径为0.01纳米，每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适，那么人从感染第一个病毒后，经过______分钟，就会感到不适．（1米＝109纳米）17．方程yx1161＝＋有________组正整数解．18．设a＝350，b＝440，c＝530，则a，b，c中最大的是____，最小的是____．19．如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且PDAP＝21，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝________，S△DEC＝________．20．一个圆周上依次放有1，2，3，…，20共20个号码牌，随意选定一个号码牌（如8），从它开始，先把它拿掉，然后每隔一个拿掉一个（如依次拿掉8，10，12，…），并一起循环下去，直到剩余两个号码牌时停止，则最后剩余的两个号码的差的绝对值是________或________．ABCDEP图2三、解答题（本大题共3小题，第21题10分，其余两题各15分，共40分）要求写出推算过程．21．如图3，正方形ABCD的边长为a，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，已知EF∥GH，EF＝GH．（1）若AE＝AH＝31a，求四边形EFGH的周长和面积；（2）求四边形EFGH的周长的最小值．22．已知A港在B港的上游，小船于凌晨3：00从A港出发开往B港，到达后立即返回，来回穿梭于A、B港之间，若小船在静水中的速度为16千米／小时，水流速度为4千米／小时，在当晚23：00时，有人看见小船在距离A港80千米处行驶．求A、B两个港口之间的距离．ABCDEFGH图323．在2，3两个数之间，第一次写上132＋＝5，第二次在2，5之间和5，3之间分别写上252＋＝27和235＋＝4，如下所示：第0次操作：23第1次操作：253第2次操作：227543第3次操作：……第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的k1．（1）请定出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和；（2）经过k次操作后所有数的和记为Sk，第k＋1次操作后所有数的和记为Sk＋1，写出Sk＋1与Sk之间的关系式；（3）求S6的值．第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试答案一、1、D3733,ccabcbcabcabcabab2、B①解得1x且3x②解得32x或32x5x或1x3、D36134、B设EFEMSDABCEFAD∥EFBEDABD又EMBC∥EMEDBCBD1BEEDSBDBD5、A22222006(20061)2006(20061)M4322006220063200622006122(200620061)M是奇数。6、C第一次折痕为AC的中垂线，设为EF。剪后,AEECAFFC。第二次折痕为EF的中垂线，设为GH。GHAC∥EF也是GH的中垂线。,EFGH互为中垂线。EGFH为菱形。7、A252463a最小为27342当42a时，可取7,2bc。8、C为完全平方数，且9,9ab11ab2399,82aaabbb共8组。9、BCB不变则上星期榜首为C，而A为上星期第三名又D为个，上星期第4为E，而第5，6名为F、.D第7名现在必为↓.45678910DEFGHIJ↑↓↓↑↑↓新∴只能是I。106613313ABCDGHFE现EFDI1，5，7名为,,CFI。10、C当P为偶数时，na中奇数与nb中偶数个数相等，而nnabn为偶数则逆否命题成立，选C。二、11、3022341630h12、222111111,.32125623xxxxxxxx211171234xxxx原方程11111.144224xxxxx224,4xxx且1.2.xx13、4m(31)(31)(31)mxxxxxx(3)(1)4431.xxxxm14、2原式233211(22)(23)(22)(32)222222222.2215、7204(1)2()92nnmnn2215180nn又3n且.6nNn内角和为180(2)720n16、10时，80.011010n人会不适。101010,10.nn17、41116()..6xyxyxyxxy6,1,2,3,4,5yyh3416上星期经验证2345,,,.361230yyyyxxxx18、b，c5433243,4256,5125.101010256243125.bac19、2，4,..ABACADBCBDDC1,4.1142,4.525ABEABCDECABCAPDBCECEPDBCEAEASSSS20、8，12当从1开始时，依次为1，3，5，…最后剩余两号码为8与16。由于各位置轮换对称。∴剩余两号码必为（8，16），（9，17），（10，18），…，（12，20），（13，1），…，（20，8）。∴差的绝对值为8或12。三、21、解（1）,.AHAEABAD1,.3..11,.332.3222()222.33EFGHEHAHEHBDBDADFGEHFGBDCGFGEHCGCFaCDBDBDHDDGBFBEaCaaa∥∥∥又222,.334,..3EFGHBFBEEFACBCBAACBDEFEHSEFGHa∥（2）设EG、HF交于点,OAC与BD交于点O。O平分,,EGHFO平分,ACBD。,.AOOCBOODOOADOOABHOOFEOOG∥∥,OO重合。,,,.AHFCAECGHDBFBEDG∥∥∥∥延长HA至M，使MAAH。EA垂直平分MH。EMEH。又,.HOOFHAAF22,2.MFAOaEHEFEMEFMFamin222.EFGHCMFaHAMEDFCGDO等号成立时，E在MF上。则45.AEMHACAHAC。即可。22、解：设两港口之间距离为S，则80S。23-3=20（小时）。则小船行驶AB间一周的时间不小于80802101641643（小时）∴小船为行驶一周后，由再出行80千米或还差80千米。行驶一周，又或还差80千米行驶2周。（1）第一种情况：8020,120201220SSS（千米）。（2）情况二8020,2002012SSS（千米）（3）情况三228020,1002012SSS（千米）。23、解：（1）1171772,,,,5,3,4,,3.6263ºÍ117177552534327.5.62632S（2）122325(1).111kkkkSSSSkkk（3）327.5,S455527.540,4S58054055,5S611055572.5.6S