1956年全国统一高考数学试卷

1956年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共9小题，共100分）1．利用对数性质计算lg25+lg2•lg50．考点：对数的运算性质。分析：根据对数的运算法则可得答案．解答：解：原式=lg25+lg2（lg5+1）=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1．点评：本题主要考查对数的运算性质．属基础题．2．设m是实数，求证方程2x2﹣（4m﹣1）x﹣m2﹣m=0的两根必定都是实数．考点：根的存在性及根的个数判断；不等关系与不等式。专题：证明题。分析：关于x的二次方程2x2﹣（4m﹣1）x﹣m2﹣m=0若有实根，则其△≥0，根据已知中的方程我们易写出△的表达式，进而根据实数的性质易得到结论．解答：证明：二次方程当其判别式不小于零时，它的两根为实数，由△=[﹣（4m﹣1）]2﹣4•2•（﹣m2﹣m）=24m2+1，∵m2≥0，∴△＞0，故原方程的两根均为实数．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，一元二次方程根的个数与△取值之间的关系是“三个二次”之间互相转化中最常用的知识点，希望大学熟练掌握．3．设M是△ABC的边AC的中点，过M作直线交AB于E，过B作直线平行于ME交AC于F．求证：△AEF的面积等于△ABC的面积的一半．考点：平行截割定理。专题：证明题。分析：把三角形AEF的面积分成△AEM的面积和△MEF的面积两部分，而△MEF的面积与△MEB的面积相等，在图形中可以用△ABM的面积表示，根据三角形的面积求法，写出同高而底是二倍关系的两个三角形的面积之间的关系．解答：证明：连MB，∵△AEF的面积=△AEM的面积+△MEF的面积=△AEM的面积+△MEB的面积=△ABM的面积=•△ABC的面积∴△AEF的面积等于△ABC的面积的一半．点评：本题考查三角形的面积的不同表示方法，解题的关键是在图形中，注意两个三角形之间的关系，主要是底边和高之间的数量关系．4．一个三角形三边长分别为3尺，4尺及尺，求这个三角形的最大角的度数．考点：余弦定理的应用。专题：计算题。分析：把三边的长代入余弦定理即可求出设最大边长所对的角为α，把三边长代入余弦定理即可求出cosα，进而求得α．解答：解：该三角形的最大边长为，所以它所对的角最大，设此角为α，由余弦定理可得∴α=180°﹣60°=120°．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．5．设tanα和tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）．考点：三角函数恒等式的证明。专题：证明题。分析：由题设条件tanα和tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，用根系关系求出两根之和与两根之积，由证明结论知，只须证明tan（α+β）=1，故须用两角和的正切公式证明，解答：证明：由根与系数关系可知：由公式tan（α+β）===1∴sin（α+β）=cos（α+β）点评：考查根与系数的关系以及两角和的正切公式，以同角三角函数中的商数关系．6．解方程组．考点：方根与根式及根式的化简运算；方程的解与相应的齐次方程通解的关系。专题：计算题。分析：解：将看成一个未知数，利用二次方程的解法求出y与x的整式关系，代入方程（2）求出解．解答：解：由（1）式可得（x+y）﹣7+12=0，（）（）=0，由此可得，x+y=9，y=9﹣x…（3），﹣4=0，x+y=16，y=16﹣x…（4），将（3）代入（2）得x2+（9﹣x）2=136，即2x2﹣18x﹣55=0，∴x=，y=，将（4）代入（2）得x2+（16﹣x）2=136即2x2﹣32x+120=0或总之或或或经检验，这四组解均为原方程组的解．点评：本题考查换元的数学数学方法、考查二次方程的根的求法．7．设P为等边△ABC外接圆的BC上的一点，求证：PA2=AB2+PB•PC．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。专题：证明题。分析：由已知我们分析待证结论中的边对应的线段，并将其归结到相应的三角形中，我们要证明结论，可以证明相应的三角形相似，由已知条件我们不难证明，△ABP∽△ADB且△BPD∽△APC根据相似三角形对应边成比例，及已知中线段之间的等量关系，我们不难得到结论．解答：证明：在△ABP和△ADB中，∠BAP=∠DAB为公用角，又∠APB=∠ACB=∠ABD=60°△ABP∽△ADB，AB2=PA•AD（1）同理可证△BPD∽△APC，，∴PB•PC=PA•PD（2）（1）、（2）式左、右两边分别相加，则得AB2+PB•PC=PA（AD+PD）=PA2，∴PA2=AB2+PB•PC．点评：证明一个复杂的积等式，关键是要分析积等式中的线段所在的三角形，将线段归结到相应三角形后，我们可以证明对应的三角形相似，再利用相似三角形性质，即对应边成比例，给出线段之间的关系，从而证明出结论．8．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD，∠A′AB=∠A′AD（如图），求证：平面A′ACC′垂直于底面ABCD．考点：平面与平面垂直的判定。专题：证明题。分析：由∠A'AB=∠A'AD得：A'在底面ABCD的射影应在∠BAD的角平分线上，由四边形ABCD是菱形可知：∠BAD的角平分线即为AC，所以平面A'ACC'垂直于底面ABCD．观察可知：可证DB⊥底面A'ACC'解答：证明：设底面是菱形ABCD的对角线相交于O，连接A'D，A'O，A'B．在△A'AB与△A'AD中，∵A'A=A'A，∠A'AB=∠A'AD，AB=AD，△A'AB≌△A'AD，∴A'B=A'D，△A'BD为等腰三角形又∵O为DB的中点，∴A'O⊥DB由菱形性质，DB⊥AC，∴DB垂直于底面A'ACC'，但底面ABCD是经过DB的，故平面A'ACC'垂直于底面ABCD．点评：本小题主要考查空间线面关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力9．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是60°；若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是60°，试证明之．考点：等差数列的性质；等比数列的性质；余弦定理。专题：证明题。分析：①设△ABC的三个角为A、B、C，由题意可得2B=A+C，进而根据三角形内角和求得B，进而可知△ABC必有一个角为60°；②设∠B=60°．△ABC的三边a，b，c成等比级数，可知b2=ac．进而代入余弦定理求得a=c，判断出此三角形为正三角形．解答：证①：设△ABC的三个角为A、B、C，由题意可得B﹣A=C﹣B，∴2B=A但∵A+B+C=180°，即3B=180°，B=60°．证②：由（1）已知△ABC必有一个角为60°，今设∠B=60°．∵△ABC的三边a，b，c成等比级数，∴b2=ac．又由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，b2=a2+c2﹣2ac，∴a2+c2﹣2ac=0，（a﹣c）2=0∴a=c．∵∠B=60°，BA=BC，∴∠A=∠C=60°故△ABC为等边三角形，即其三个内角均为60°．点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，以及利用余弦定理解三角形问题．