1982年全国统一高考数学试卷(文科)

1982年全国统一高考数学试卷（文科）一、填空题（共2小题，1小题8分，2小题7分满分20分）1．（8分）填表：2．（7分）填表：二、解答题（共7小题，满分85分）3．（10分）求（﹣1+i）20展开式中第15项的数值；4．（10分）已知，求x2﹣y2的值5．（10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图），已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？6．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，（1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积；（2）求A1B和B1C所成的角．7．（12分）已知定点A，B且AB=2a，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．8．（15分）求tan9°+cot117°﹣tan243°﹣cot351°的值．9．（16分）如图，已知△AOB中，OA=b，OB=a，∠AOB=θ（a≥b，θ是锐角），作AB1⊥OB，B1A1∥BA；再作A1B2⊥OB，B2A2∥BA；如此无限连续作下去，设△ABB1，△A1B1B2，…的面积为S1，S2，…求无穷数列S1，S2，…的和．1982年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共2小题，1小题8分，2小题7分满分20分）1．（8分）填表：考点：函数的定义域及其求法．专题：压轴题．分析：分别按各自函数的定义和性质直接填空即可．解答：解：由题意依据函数的定义和性质，直接填表：点评：本题考查各类函数的定义和性质，是基础题，考查基础知识的记忆．2．（7分）填表：考点：椭圆的定义；直线的一般式方程．专题：压轴题；图表型．分析：将方程4x2+y2=4转化为标准方程可知，该曲线为焦点在y轴的椭圆，而x﹣3=0则表示垂直于x轴的直线，作出其图象即可．解答：解：如图点评：本题考查了直线和椭圆的方程，注意要将椭圆方程化为标准形式，并判断其焦点所处的位置．二、解答题（共7小题，满分85分）3．（10分）求（﹣1+i）20展开式中第15项的数值；考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第15项，利用虚数单位的平方为﹣1及组合数公式化简此项．解答：解：第15项T15=C2014（﹣1）6（i）14=﹣C206=﹣38760．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．4．（10分）已知，求x2﹣y2的值考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：分别求出（x﹣y）2和（x﹣y）2的值，然后利用完全平方公式能够导出x2﹣y2的值．解答：解：，即，得，∴，，∴．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，解题时要注意完全平方公式的合理运用．5．（10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图），已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？考点：函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：由题意设长方形场地的宽为x，则长为L﹣3x，表示出面积y，然后对其进行配方求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．解答：解：设长方形场地的宽为x，则长为L﹣3x，它的面积y=x（L﹣3x）=﹣3x2+Lx=．当宽时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为，最大面积为．点评：此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用配方法，这也是高考常考的方法．6．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，（1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积；（2）求A1B和B1C所成的角．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：（1）先求出截下部分体积，剩余部分体积=正方体的体积﹣截下部分体积，从而得出结果．（2）连接D1C和D1B1，将A1B平移到D1C，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到A1B与B1C所成的角，再在等边三角形△D1CB1求之即可．解答：解：（1）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴△A1B1C1是棱锥B﹣A1B1C1的底，BB1是棱锥的高，△A1B1C1的面积=，截下部分体积=的面积=，正方体体积=a3，剩余部分体积=a3﹣．（2）连接D1C和D1B1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴∠B1CD1即A1B与B1C所成的角，∵正方体各面上对角线的长度相等，即D1B1=B1C=D1C，∴△D1CB1是等边三角形∴∠D1CB1=60°，∴A1B与B1C成600的角．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，属于基础题．7．（12分）已知定点A，B且AB=2a，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：先依据条件建立恰当的直角坐标系，设P为（x，y），依据题中条件：“距离之比”列关于x，y的方程式，化谙即可得点P的轨迹方程．解答：解：选取AB所在直线为横轴，从A到B为正方向，以AB中点O为原点，过O作AB的垂线为纵轴，则A为（﹣a，0），B为（a，0），设P为（x，y）∵，∴．∴（x+a）2+y2=4[（x﹣a）2+y2]，∴3x2﹣10ax+3y2+3a2=0．因为x2，y2两项的系数相等，且缺xy项，所以轨迹的图形是圆．点评：求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．8．（15分）求tan9°+cot117°﹣tan243°﹣cot351°的值．考点：运用诱导公式化简求值；二倍角的正弦．专题：压轴题．分析：先把角用诱导公式化成锐角，再切化弦，同分化简即可．解答：解：原式=tan9°﹣tan27°﹣cot27°+cot9°=（tan9°+cot9°）﹣（tan27°+cot27°）==．点评：本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，和差化积公式，是中档题．9．（16分）如图，已知△AOB中，OA=b，OB=a，∠AOB=θ（a≥b，θ是锐角），作AB1⊥OB，B1A1∥BA；再作A1B2⊥OB，B2A2∥BA；如此无限连续作下去，设△ABB1，△A1B1B2，…的面积为S1，S2，…求无穷数列S1，S2，…的和．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：首先用a，b，θ表示出AB1和BB1进而表示出△B1AB，进而表示出，发现数列{Sn}为等比数列，公比为根据其小于1，推断此数列为递缩等比数列．进而通过数列{Sn}的前n项和的极限求得答案．解答：解：AB1=bsinθ，BB1=a﹣bcosθ（对一切n≥1成立，此时视A0B0为AB）∵△ABB1∽△A1B1B2∽△A2B2B3∽，=bsinθ（a﹣bcosθ），∵△OAB1∽△OA1B1∽△OA2B2…∴===，∴，即公比Q=．∵θ是锐角，a≥b，∴0＜＜1，∴数列S1，S2，S3，是无穷递缩等比数列，点评：本题主要考查了等比数列的求和问题．做题的关键是从题设的条件中归纳出等比数列．