1984年全国高考数学试题及其解析

1984年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题（本试卷共八大题，满分120分奎屯王新敞新疆第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的奎屯王新敞新疆把正确结论的代号写在题后的圆括号内奎屯王新敞新疆每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分奎屯王新敞新疆1．数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k1）π，k是整数}之间的关系是（）（A）XY（B）XY（C）X=Y（D）X≠Y2．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）（A）F=0，G≠0，E≠0.（B）E=0，F=0，G≠0.（C）G=0，F=0，E≠0.（D）G=0，E=0，F≠0.3.如果n是正整数，那么)1]()1(1[812nn的值（）（A）一定是零奎屯王新敞新疆（B）一定是偶数奎屯王新敞新疆（C）不一定是整数（D）是整数但不一定是偶数4.)arccos(x大于xarccos的充分条件是（）（A）]1,0(x（B）)0,1(x（C）]1,0[x（D）]2,0[x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin12sin2cos那么2（）（A）是第一象限角（B）是第三象限角（C）是第二象限角（D）可能是第一象限角，也可能是第三象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分奎屯王新敞新疆只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积奎屯王新敞新疆2.函数)44(log25.0xx在什么区间上是增函数？3．求方程21)cos(sin2xx的解集奎屯王新敞新疆4．求3)2||1|(|xx的展开式中的常数项奎屯王新敞新疆5．求1321limnnn的值奎屯王新敞新疆6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）奎屯王新敞新疆三．（本题满分12分）本题只要求画出图形奎屯王新敞新疆1．设,0,1,0,0)(xxxH当当画出函数y=H(x-1)的图象奎屯王新敞新疆2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(的曲线奎屯王新敞新疆四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线奎屯王新敞新疆求证这三条交线交于一点或互相平行奎屯王新敞新疆五．（本题满分14分）设c,d,x为实数，c≠0，x为未知数奎屯王新敞新疆讨论方程1log)(xxdcx在什么情况下有解奎屯王新敞新疆有解时求出它的解奎屯王新敞新疆六．（本题满分16分）1．设0p，实系数一元二次方程022qpzz有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1，Z2奎屯王新敞新疆求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长奎屯王新敞新疆（7分）2．求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程奎屯王新敞新疆（9分）七．（本题满分15分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c，且c=10，34coscosabBA，P为△ABC的内切圆上的动点奎屯王新敞新疆求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值奎屯王新敞新疆八．（本题满分12分）设a＞2，给定数列{xn},其中x1=a,)2,1()1(221nxxxnnn求证：1．);2,1(1,21nxxxnnn且2．);2,1(212,31nxann那么如果3．.3,34lg3lg,31nxana必有时那么当如果九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线L相切于点A，一动点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为直线PC与直线AO交于点M奎屯王新敞新疆又知当AP=43时，点P的速度为V奎屯王新敞新疆求这时点M的速度奎屯王新敞新疆文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的奎屯王新敞新疆把正确结论的代号写在题后的圆括号内奎屯王新敞新疆每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分奎屯王新敞新疆1．数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k1）π，k是整数}之间的关系是（）（A）XY（B）XY（C）X=Y（D）X≠Y2.函数y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)的图象（）（A）关于y轴对称（B）关于原点对称（C）关于直线x+y=0对称（D）关于直线x-y=0对称3复数i2321的三角形式是（）（A）)3sin()3cos(i（B）3sin3cosi（C）3sin3cosi（D）65sin3cosi4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）（A）一条直线不相交（B）两条直线不相交（C）任意一条直线都不相交（D）无数条直线不相交5．方程x2-79x+1=0的两根可分别作为（）（A）一椭圆和一双曲线的离心率（B）两抛物线的离心率（C）一椭圆和一抛物线的离心率（D）两椭圆的离心率二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分奎屯王新敞新疆只要求直接写出结果）1．已知函数0)32(log5.0x，求x的取值范围奎屯王新敞新疆2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积奎屯王新敞新疆3．已知实数m满足2x2-(2i-1)x+m-i=0,求m及x的值奎屯王新敞新疆4.求)2)(1()()2()1(lim222nnnnnnnn的值奎屯王新敞新疆5．求6)12(xx的展开式中x的一次幂的系数奎屯王新敞新疆6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）奎屯王新敞新疆三．（本题满分12分）本题只要求画出图形奎屯王新敞新疆1．画出方程y2=-4x的曲线奎屯王新敞新疆2．画出函数2)1(1xy的图象奎屯王新敞新疆四．（本题满分12分）已知等差数列a,b,c中的三个数都是正数，且公差不为零奎屯王新敞新疆求证它们的倒数所组成的数列cba1,1,1不可能成等差数列奎屯王新敞新疆五．（本题满分14分）把422cossin2sin411化成三角函数的积的形式(要求结果最简）奎屯王新敞新疆六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD的面积为32cm2，求截得的三棱锥D-ABC的体积奎屯王新敞新疆七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%奎屯王新敞新疆问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是C1:x2+9y2-45=0,C2:x2+9y2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标奎屯王新敞新疆2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程奎屯王新敞新疆理工农医类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）.84或（2）x＜-2.（3）},12|{},127|{ZnnxxZnnxx（4）-20（5）0（6）!647P三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c与b或交于一点或互相平行.(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.所以a,b,c交于一点(即P点).(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.所以a,b,c互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解：原方程有解的充要条件是：(4))((3),0(2),0(1),01xxdcxxdcxxdcxx由条件（4）知1)(xdcxx，所以12dcx奎屯王新敞新疆再由c≠0，可得.12cdx又由1)(xdcxx及x＞0，知0xdcx，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中奎屯王新敞新疆再由条件（3）及1)(xdcxx，知.1x因此，原条件可简化为以下的等价条件组：(6).1x(5)1,x(1),02cdx由条件（1）（6）知.01cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1;②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知dc1从而，当c＞0,d＜1且dc1时，或者当c＜0,d＞1且dc1时，原方程有解，它的解是cdx1六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.解：1.因为p,q为实数，0p，z1,z2为虚数，所以0,04)2(22pqqp由z1,z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上奎屯王新敞新疆又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点奎屯王新敞新疆根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,焦距离=2c=|z1-z2|=2212212|4)(|pqzzzz,长轴长=2a=.2222qcb2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴奎屯王新敞新疆设椭圆左顶点为A（x,y），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的21，从而左焦点F的坐标为),23(yx奎屯王新敞新疆设d为点M到y轴的距离，则d=1奎屯王新敞新疆根据21||dMF及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(),9()4(2)1223xyxy即这就是所求的轨迹方程奎屯王新敞新疆七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.解：由abBAcoscos，运用正弦定理，有.2sin2sincossincossin,sinsincoscosBABBAAABBA因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=2奎屯王新敞新疆由此可知△ABC是直角三角形奎屯王新敞新疆由c=10，.8,60,0,34222babacbaab可得以及如图，设△ABC的内切圆圆心为O＇，切点分别为D，E，F，则AD+DB+EC=.12)6810(21但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P的坐标为(x,y),则2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.SPAPBPCxyxyxyxyxyxyxxx因为P点在内切圆上，所以40x，S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72奎屯王新敞新疆解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin22cos22yx从而222||||||PCPBPAS222222(2cos6)(22sin)(22cos)(2sin4)(22cos)(22sin)808cos因为20，