1985年全国统一高考数学试卷(文科)

1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，8}B．{3，7，8}C．{1，3，7，8}D．{1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）A．y=x2（x∈R）B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）D．y=esin2x（x∈R）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为Sn，又设Tn=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8}C．{1，3，7，8}D．{1，3，6，7，8}8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）A．y=x2（x∈R）B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）D．y=esin2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，ymax=2；当x=0时，ymin=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面