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1989年全国统一高考数学试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.(3分)(2000•北京)如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I是全集,那么(CIM)∩(CIN)等于()A.φB.{d}C.{a,c}D.{b,e}2.(3分)与函数y=x有相同图象的一个函数是()A.B.C.y=alogax.其中a>0,a≠1D.y=logaax.其中a>0,a≠13.(3分)如果圆锥的底面半径为,高为2,那么它的侧面积是()A.B.C.D.4.(3分)的值等于()A.﹣1B.C.D.5.(3分)已知{an}是等比数列,如果a1+a2+a3=18,a2+a3+a4=﹣9,Sn=a1+a2+…+an,那么Sn的值等于()A.8B.16C.32D.486.(3分)如果的值等于()A.B.C.D.7.(3分)(2010•宁波模拟)设复数z满足关系:z+||=2+i,那么z等于()A.﹣+iB.+iC.﹣﹣iD.﹣i8.(3分)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是()A.4B.3C.2D.59.(3分)已知椭圆的极坐标方程是,那么它的短轴长是()A.B.C.D.10.(3分)如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的右准线的距离是()A.10B.C.D.11.(3分)已知f(x)=8+2x﹣x2,如果g(x)=f(2﹣x2),那么g(x)()A.在区间(﹣1,0)上是减函数B.在区间(0,1)上是减函数C.在区间(﹣2,0)上是增函数D.在区间(0,2)上是增函数12.(3分)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有()A.60个B.48个C.36个D.24个二、填空题(共6小题,每小4分,满24分)13.(4分)方程的解集是_________14.(4分)(2010•焦作二模)不等式|x2﹣3x|>4的解集是_________.15.(4分)函数的反函数的定义域是_________.16.(4分)(2010•佛山模拟)若(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a1+a2+…+a6=_________.17.(4分)已知A和B是两个命题,如果A是B的充分条件,那么B是A的_________条件18.(4分)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO'之间的距离等于_________.三、解答题(共6小题,满分60分)19.(8分)证明:.20.(10分)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=.(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.21.(10分)自点A(﹣3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.22.(12分)已知a>0,a≠1,试求使方程有解的k的取值范围.23.(10分)是否存在常数a,b,c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?并证明你的结论.24.(10分)设f(x)是定义在区间(﹣∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用Ik表示区间(2k﹣1,2k+1],已知当x∈I0时,f(x)=x2.(1)求f(x)在Ik上的解析表达式;(2)对自然数k,求集合Mk={a|使方程f(x)=ax在Ik上有两个不等的实根}1989年全国统一高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.(3分)(2000•北京)如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I是全集,那么(CIM)∩(CIN)等于()A.φB.{d}C.{a,c}D.{b,e}考点:交、并、补集的混合运算.分析:根据交集、补集的意义直接求解.或者根据(CIM)∩(CIN)=CI(M∪N)求解.解答:解:CIM={b,e},CIN={a,c},∴(CIM)∩(CIN)=∅,故选A点评:本题考查集合的基本运算,较容易.2.(3分)与函数y=x有相同图象的一个函数是()A.B.C.y=alogax.其中a>0,a≠1D.y=logaax.其中a>0,a≠1考点:反函数.分析:欲寻找与函数y=x有相同图象的一个函数,只须考虑它们与y=x是不是定义域与解析式都相同即可.解答:解:对于A,它的定义域为R,但是它的解析式为y=|x|与y=x不同,故错;对于B,它的定义域为x≠0,与y=x不同,故错;对于C,它的定义域为x>0,与y=x不同,故错;对于D,它的定义域为R,解析式可化为y=x与y=x同,故正确;故选D.点评:本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等,属于基础题.3.(3分)如果圆锥的底面半径为,高为2,那么它的侧面积是()A.B.C.D.考点:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.专题:计算题.分析:根据圆锥的侧面积公式直接解答即可.解答:解:圆锥的底面半径为,高为2,母线长为:,那么它的侧面积:故选C.点评:本题考查圆锥的侧面积和表面积,是基础题、必会题.4.(3分)的值等于()A.﹣1B.C.D.考点:反三角函数的运用.专题:计算题.分析:利用反函数的运算法则,以及两角和的余弦公式求解即可.解答:解:===﹣[cos(arcsin)cos(arccos)+sin(arcsin)sin(arccos)]=﹣[]=﹣1故选A.点评:本题考查反函数的运算,两角和的正弦公式,是基础题.5.(3分)已知{an}是等比数列,如果a1+a2+a3=18,a2+a3+a4=﹣9,Sn=a1+a2+…+an,那么Sn的值等于()A.8B.16C.32D.48考点:极限及其运算;等比数列的前n项和;等比数列的性质.专题:计算题.分析:由题意知,所以,Sn=.解答:解:∵a1+a1q+a1q2=18,a1q+a1q2+a1q3=﹣9,∴.∴,∴Sn=.故选B.点评:本题考查等比数列的计算和极限,解题时要正确选取公式,注意公式的灵活运用.6.(3分)如果的值等于()A.B.C.D.考点:二倍角的余弦.分析:由题目中给出的角θ的范围,确定余弦值,用余弦表示sin,求出结果,容易出错的地方是,要求结果的正负,要用角的范围帮助分析解答:解:∵,∴,∵∴或,∵,∴,故选C点评:已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的其他三角函数式的值,一般需用三个基本关系式及其变式,通过恒等变形或解方程求解.已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的半角或二倍角的三角函数值,要用到二倍角公式.7.(3分)(2010•宁波模拟)设复数z满足关系:z+||=2+i,那么z等于()A.﹣+iB.+iC.﹣﹣iD.﹣i考点:复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.专题:计算题;综合题.分析:解法1:设出复数,利用复数相等的条件求解即可;解法2:利用复数模的性质,移项平方,然后解方程即可;解法3:考虑选择题的特点,考查选项复数的模,结合题干推出复数z的实部、虚部的符号即可.解答:解:法1:设z=a+bi(a,b∈R)由已知a+bi+=2+i由复数相等可得∴故z=+i故选B.法2:由已知可得z=﹣||+i①取模后平方可得|z|2=(2﹣|z|)2+1=4﹣4|z|+|z|2+1,所以,代入①得,故选B.法3:选择支中的复数的模均为,又,而方程右边为2+i,它的实部,虚部均为正数,因此复数z的实部,虚部也必须为正,故选B.点评:本题考查复数的基本概念,复数代数形式的乘除运算,复数的模,考查计算能力,判断能力,是基础题.8.(3分)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是()A.4B.3C.2D.5考点:球面距离及相关计算.专题:计算题.分析:画出图形,求出两个截面圆的半径,即可解答本题.解答:解:由题意画轴截面图,截面的面积为5π,半径为,截面的面积为8π的圆的半径是,设球心到大截面圆的距离为d,球的半径为r,则5+(d+1)2=8+d2,∴d=1,∴r=3故选B.点评:本题考查球的截面圆的半径,球的半径,球心到截面圆心的距离的关系,是基础题.9.(3分)已知椭圆的极坐标方程是,那么它的短轴长是()A.B.C.D.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题.分析:利用圆锥曲线统一的极坐标方程,求出圆锥曲线的短轴长即可.解答:解:将原极坐标方程为,化成:极坐标方程为ρ=.,对照圆锥曲线统一的极坐标方程得:e=,a=3,b=,c=2.∴它的短轴长2故选C点评:本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程,属于基础题.10.(3分)如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的右准线的距离是()A.10B.C.D.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题.分析:由双曲线的第二定义可知点P到双曲线右焦点的距离和点P到它的右准线的距离之比等于离心率,由此可以求出点P到它的右准线的距离.解答:解:设点P到它的右准线的距离是x,∵,∴,解得.故点P到它的右准线的距离是.故选D.点评:本题考查双曲线的第二定义,解题时注意认真审题.11.(3分)已知f(x)=8+2x﹣x2,如果g(x)=f(2﹣x2),那么g(x)()A.在区间(﹣1,0)上是减函数B.在区间(0,1)上是减函数C.在区间(﹣2,0)上是增函数D.在区间(0,2)上是增函数考点:复合函数的单调性.专题:计算题;综合题;压轴题.分析:先求出g(x)的表达式,然后确定它的区间的单调性,即可确定选项.解答:解:因为f(x)=8+2x﹣x2,则g(x)=f(2﹣x2)=8+2x2﹣x4=﹣(x2﹣1)2+9,因为g′(x)=﹣4x3+4x,x∈(﹣1,0),g′(x)<0,g(x)在区间(﹣1,0)上是减函数.故选A.点评:本题考查复合函数的单调性,考查学生发现问题解决问题的能力,是基础题.12.(3分)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有()A.60个B.48个C.36个D.24个考点:排列及排列数公式.专题:压轴题.分析:由题意本题的要求是个位数字是偶数,最高位不是5.可先安排个位,方法有2种,再安排最高位,方法有3种,其他位置安排方法有A33=6种,求乘积即可.解答:解:由题意,符合要求的数字共有2×3A33=36种故选C点评:本题考查有特殊要求的排列问题,属基本题.有特殊要求的排列问题,一般采用特殊位置优先或特殊元素优先考虑.二、填空题(共6小题,每小4分,满24分)13.(4分)方程的解集是{x|x=2kπ+或x=2kπ+}(k∈Z)考点:正弦函数的图象;三角函数的积化和差公式.专题:计算题.分析:先利用两角和公式对化简整理,进而根据正弦函数的性质可求得x的解集.解答:解:=2(sinx﹣cosx)=2sin(x﹣)=∴sin(x﹣)=∴x﹣=2kπ+或2kπ+∴x=2kπ+或2kπ+故答案为{x|x=2kπ+或x=2kπ+}(k∈Z)点评:本题主要考查了正弦函数的基本性质.考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用.14.(4分)(2010•焦作二模)不等式|x2﹣3x|>4的解集是{x|x<﹣1,或x>4}.考点:绝对值不等式的解法.专题:计算题.分析:用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解.解答:解:∵|x2﹣3x|>4∴x2﹣3x>4或x2﹣3x<﹣4由x2﹣3x>4解得x<﹣1或x>4,x2﹣3x<﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|>4的解集是{x|x<﹣1或x>4}故应填{x|x<﹣1或x>4}点评:考查绝对值不等式的解法,用绝对值的几何意义来进行转化.15.(4分)函数的反函数的定义域是(﹣1,1).考点:反函数.专题:计算题.分析:欲求反函数的定义域,可以通过求在函数的值域获
本文标题:1989年全国统一高考数学试卷(理科)
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