1994年全国高中数学联赛试题及详细解析

一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c0都成立的充要条件是(A)a，b同时为0，且c0(B)a2+b2=c(C)a2+b2c(D)a2+b2c4、已知0b1，0aπ4，则下列三数：x=(sina)logbsina，y=(cosa)logbcosa，z=(sina)logbcosa[来源:Z。xx。k.Com](A)xzy(B)yzx(C)zxy(D)xyz5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(A)(n－2nπ，π)(B)(n－1nπ，π)(C)(0，π2)(D)(n－2nπ，n－1nπ)6、在平面直角坐标系中，方程|x+y|2a+|x－y|2b=1(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A)三角形(B)正方形[来源:Zxxk.Com](C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形二、填空题(每小题9分，共54分)第二试一、(本题满分25分)x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z21－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m|的最大值和最小值.二、(本题满分25分)将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。(1)求m(G)的最小值m0．[来源:学科网ZXXK](2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．1994年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c0都成立的充要条件是(A)a，b同时为0，且c0(B)a2+b2=c(C)a2+b2c(D)a2+b2c【答案】C【解析】asinx+bcosx+c=a2+b2sin(x+φ)+c∈[－a2+b2+c，a2+b2+c]．故选C．2、给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2c2，则a2+b2－c20．(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c20，则a2+b2c2．那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确，命题(2)也正确(B)命题(1)正确，命题(2)错误(C)命题(1)错误，命题(2)也错误(D)命题(1)错误，命题(2)正确3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|1125的最小整数n是(A)5(B)6(C)7(D)8【答案】C【解析】(an+1－1)=－13(an－1)，即{an－1}是以－13为公比的等比数列，∴an=8(－13)n－1+1．∴Sn=8·1－(－13)n1+13+n=6+n－6(－13)n，6·13n1125，n≥7．选C．5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(A)(n－2nπ，π)(B)(n－1nπ，π)(C)(0，π2)(D)(n－2nπ，n－1nπ)6、在平面直角坐标系中，方程|x+y|2a+|x－y|2b=1(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形【答案】D【解析】x+y≥0，x－y≥0时，(一、四象限角平分线之间)：(a+b)x+(b－a)y=2ab；x+y≥0，x－y0时，(一、二象限角平分线之间)：(b－a)x+(a+b)y=2ab；x+y0，x－y≥0时，(三、四象限角平分线之间)：(a－b)x－(a+b)y=2ab；x+y0，x－y0时，(二、三象限角平分线之间)：－(a+b)x+(a－b)y=2ab．四条直线在a≠b时围成一个菱形(非正方形)．选D．二、填空题(每小题9分，共54分)2．已知x，y∈[－π4，π4]，a∈R且x3+sinx－2a=0，4y3+sinycosy+a=0则cos(x+2y)=．3．已知点集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤(52)2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2(52)2}，则点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为．【答案】7【解析】如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点．[来源:学|科|网](4,5)(3,4)O321321xy5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sinα=．【答案】33【解析】12条棱只有三个方向，故只要取如图中AA与平面ABD所成角即可．设AA=1，则AC=3，AC⊥平面ABD，AC被平面ABD、BDC三等分．于是sinα=33．第二试一、(本题满分25分)x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z21－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m|的最大值和最小值.【解析】设m=a+bi(a，b∈R)．则△=z12－4z2－4m=16+20i－4a－4bi=4[(4－a)+(5－b)i]．设△的平方根为u+vi．(u，v∈R)A'B'C'D'DCBA二、(本题满分25分)将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。【解析】由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－13)(1－15)(1－17)=48个。1000=48×20+48－8，105×20=2100.而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86．∴所求数为2186。由ΔACH为正三角形，易证IC+IA=IH．由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IHOH=2R．设∠OHI=α，则0α30°．∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2R2sin(α+45°)又α+45°75°，故IO+IA+IC22R(6+2)/4=R(1+3)四、(本题满分35分)给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994},P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G)．(1)求m(G)的最小值m0．(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．[来源:学+科+网]于是可知，只有当各ni的值相差不超过1时，m(G)才能取得最小值．1994=83×24+2．故当81组中有24个点，2组中有25个点时，m(G)达到最小值．m0=81C324+2C325=81×2024+2×2300=168544．