1997年哈尔滨工业大学量子力学试题

1997年量子力学考研试题一.氢原子在0t时刻处于状态rrrCr3212131210,式中，rn为氢原子的第n个本征态。（1）计算?C；（2）计算0t时能量的取值几率与平均值；（3）写出任意时刻t的波函数tr,。解：（1）利用归一化条件12131212C可知43C于是，归一化后的展开系数为8301c；4102c；833c（2）氢原子的能量本征值为22412neEn依题意知，能量的可能取值与相应的取值几率为834321,18414331,8834321,2324322421241EWeEEWeEEWeE而能量的平均值为242424243196238318419832eeeeEWEEiii（3）任意时刻t的波函数为tErtErtErrtEctriiii33221131iexp83iexp41iexp83iexp0,二．证明：（1）若一个算符与角动量算符Jˆ的两个分量对易，则其必与Jˆ的另一个分量对易；（2）在2ˆJ与zJˆ的共同本征态JM下，xJˆ与yJˆ的平均值为零，且当JM时，测量xJˆ与yJˆ的不确定性之积为最小。证明：（1）设算符Fˆ与角动量算符xJˆ及yJˆ皆对易，即0ˆ,ˆˆ,ˆyxJFJF则0ˆˆ,ˆi1ˆˆ,ˆi1ˆ,ˆ,ˆi1ˆ,ˆxyyxyxzJJFJJFJJFJF同理可知，若算符Fˆ与角动量算符xJˆ及zJˆ皆对易，则算符Fˆ必与yJˆ对易；若算符Fˆ与角动量算符yJˆ及zJˆ皆对易，则算符Fˆ必与xJˆ对易，于是，问题得证。（2）在2ˆJ与zJˆ的共同本征态JM下，xJˆ的平均值为JMJJJMJMJJMxˆˆ21ˆ由升降算符的性质可知1)1()1(ˆJMMMJJJMJ于是有0ˆJMJJMx同理可证，算符yJˆ在JM下的平均值也为零。在JM态上，22222)1(21ˆˆ21ˆˆˆˆ41ˆˆˆˆ41ˆMJJJMJJJMJMJJJJJMJMJJJJJMJMJJMzx同理可得222)1(21ˆMJJJMJJMy故有42222)1(41MJJJJxx或者写为22)1(21MJJJJyx显然，当JM时，上式取最小值2min2JJJyx三.（见2003年第3题）有一质量为m的粒子，在如下势场中运动bxaVaxbxxxV,0,0,0,0试求出束缚能级所满足的方程。解：当0VE时，四个区域的波函数分别为0)sin(sin0423121xxkBxxkAxx式中，mEk21；022VEmk由0x处波函数连续可知，0，由bx处波函数连续可知kb再利用ax处波函数及其一阶导数连续的条件bkakBkakAkbkakBakA22211221coscossinsin求出bakkkak2211tantan此即0VE时能量本征值满足的超越方程。当0VE时，四个区域的波函数分别为0expexpsin04321xxCxBxkxAxx式中，mEk2；EVm02由bx处波函数连续条件可知，0expexpbCbB或者bCB2exp再利用ax处波函数及其一阶导数连续的条件aCaBkaAkaCaBkaAexpexpcosexpexpsin利用B与C的关系式，将上两式改写为aCbaCkaAkaCbaCkaAexp2expcosexp2expsin最后，得到0VE时能量满足的超越方程12exp12expexp2expexp2exptanbabakabaabakka四.由两个自旋为21的粒子构成的体系，若两个粒子的自旋态分别处于011；2iexp2sin2iexp2cos2的态上，求体系分别处单态与三重态度几率。解：依题意可知，两个粒子构成的体系处于状态2iexp2sin2iexp2cos2iexp2sin2iexp2cos221两个自旋为21粒子的总自旋量子数1,0S，其单态为2100故体系处于单态度几率为2sin212iexp2sin212100)0(2222SW而三重态为11112110体系处于三重态的几率为2cos2sin212iexp2cos2iexp2sin21112222211MMSW两者几率之和12sin2cos22五.一个质量为、角频率微0的线谐振子，受到微扰2ˆxW的作用，（1）用微扰论求能量的一级修正；（2）求能量的严格解，并与（1）的结果比较。解：（1）无微扰线谐振子的哈密顿算符0ˆH满足nEnHn00ˆ其中，0021nEn能量的一级修正为kxkkWkEk21ˆ利用公式2,,2,222112)1(21nmnmnmnnnnnnxm得到能量的一级修正为02121122kkEk能量近似到一级修正的结果为200121kEk（2）为了求得严格解，改写体系的哈密顿算符220222202212ˆ212ˆˆxpxxpH若令2022121即20020212则体系的严格解为200212121kkEk因为是一个小量，故一级近似的结果为290121kEk上式与微扰论的一级近似完全一致。